一元三次方程的解

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（一）一元三次方程降阶

一元三次方程原型：
$$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$

代换削元。最简单的方法是线性变化削元。假设x = my + n, 带入后可以削去未知数y的平方项：

$$\begin{gathered} a(my+n{)}^3+b(my+n{)}^2+c(my+n)+d= \\ a{m}^3{y}^3+3a{m}^2{y}^{2}n+3amy{n}^2+a{n}^3+ \\ b{m}^2{y}^2+2bmny+b{n}^2+ \\ cmy+cn+ \\ d=0 \end{gathered}$$
即此时必须满足二次项系数值之和为0，也就是 $3a{m}^{2}n+b{m}^2=0$，从而可以得出结论：$n=-\frac{b}{3a},m为任意值$

由此证明：若将$x=y-\frac{b}{3a}$带入原式，则可以讲方程变为如下形式：

$$x^3+px+q=0\text{\hspace{1em}(1.0)}$$

（二）一元三次方程解的原理

上一片博文是我学习接触一元三次方程的起点，但是原文中有几句话一直不是很明白，为什么x = a + b带入后的限制条件为什么是：

1. $-3ab=p$
2. $q=-(a^3+b^3)$
3. $x=a+b$

看了另外一篇文章，加上自己的思索终于弄明白了。手动推导一下。

其中要解的方程如下：

$$x^3+px+q=0\text{\hspace{1em}(1.0)}$$

假设$x=a+b$ ,那么
$$x^3=(a+b{)}^3=a^3+3ab(a+b)+b^3=a^3+b^3+3abx$$
因此$$x^3-3abx-(a^3+b^3)=0\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

仔细观察上面的(1.0)和 (1.1)，因为两个式子差别仅仅是一个代换问题，如果代换成立的话（必然可以成立），两者是等价的；也可以认为，未知数的次数和系数形式是一样的，由此得到如下结论：

1. $-3ab=p$
2. $q=-(a^3+b^3)$
3. $x=a+b$

如此一来，我们假设 x = a + b, 带入要解的方程中可得：

$$(a+b{)}^3+p(a+b)+q=0==>$$
$$a^3+b^3+3a^{2}b+3a{b}^2+p(a+b)+a=0==>$$
$$a^3+b^3+(a+b)(3ab+p)+q=0\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

此时，上述三个条件依然是满足的。未知数变为a 和 b，其满足的关系为：

1. $a^3{b}^3=-\frac{p^3}{27}$
2. $a^3+b^3=-q$

到现在为止，就可以讲三次方程转化为2次方程来求解了。

再次假设: $a^3=m,b^3=n$，带入后可得：$m(-q-m)=-\frac{p^3}{27}$

即$m^2+mq-p^3/27=0$
$$m=\frac{-q+-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}=-q/2+-\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}$$

$$n=-q/2-+\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}$$

将上面两个变量开三次方可得方程的一个根：

$$a=\sqrt[3]{-q/2+-\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}}$$

$$b=\sqrt[3]{-q/2-+\sqrt{(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3}}$$

（三）其他的根

在获取了方程的一个根后，利用等式 $a^3+b^3=-q$和$ab=-\frac{p}{3}$可以得到其他的两个根。

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=-q$$

$$a^2-ab+b^2=\frac{-q}{a+b}$$

$$ab=-\frac{p}{3}$$