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一、前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习。

typedef char BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;// 动态申请一个新节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(newnode);newnode->data = x;newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;return newnode;
}BTNode* CreatBinaryTree()
{BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;return node1;
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式。

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二、构建二叉树

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{if (*pi >= n){return NULL;}char ch = a[*pi];(*pi)++;if (ch == '#'){return NULL;}BTNode* newNode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));newNode->data = ch;newNode->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);newNode->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);return newNode;
}

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三、二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历 (Traversal) 是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

二叉树的遍历方式主要有四种，先介绍三种，最后再介绍第四种。（利用了分治的思想）

1. 前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历)，方式为先遍历根结点，左子树，右子树。
2. 中序遍历 (Inorder Traversal)，方式为先遍历左子树，根结点，右子树。
3. 后序遍历 (Postorder Traversal)，方式为先遍历左子树，右子树，根结点。

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

其中这三种遍历方式一般都用递归进行实现。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以 N(Node）、L(Left subtree）和 R(Right subtree）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR 和 LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

注意 ：

1️⃣ 深度优先遍厉：前序遍厉、中序遍厉、后序遍厉，注意有些说法只认同前序遍厉。

2️⃣ 广度优先遍厉：层序遍厉。

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1、前序遍历

按照前序遍历的方式，我们应该先遍历根结点 A，然后再去遍历左子树。当进入左子树后，我们需要再执行前序遍历方式，即遍历 A 的左子树中的根结点 B，然后再遍历 B 的左子树。当我们再进入左子树，又是先遍历根结点D，然后又遍历左子树，按照顺序遍历到 R，此时终于完成根结点，左子树，接下来遍历右子树。进入右子树后，又遍历根结点T... ...，所以这种遍历方式属于递归性质的。（遍历顺序为：A–>B–>D–>R–>T–>E–>Y–>C–>Q–>U–>W）

// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) // 根->左子树->右子树
{if (root == NULL){printf("# "); // 用#代表NULLreturn;}printf("%c ", root->data);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

【递归图解】

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2、中序遍历

中序遍历方式为左子树，根结点，右子树。仍以上面的图为例，遍历顺序为：

R–>D–>T–>B–>E–>Y–>A–>Q–>U–>C–>W

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)// 左子树->根->右子树
{if (root == NULL){printf("# ");return;}BinaryTreeInOrder(root->left);printf("%c ", root->data);BinaryTreeInOrder(root->right);
}

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3、后序遍历

后序遍历方式为 左子树，右子树，根结点。仍以上面的图为例，遍历顺序应该为：

R–>T–>D–>Y–>E–>B–>U–>Q–>W–>C–>A

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) // 左子树->右子树->根
{if (root == NULL){printf("# ");return;}BinaryTreePostOrder(root->left);BinaryTreePostOrder(root->right);printf("%c ", root->data);
}

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【总结】 

• 前序遍历结果：1->2->3->4->5->6
• 中序遍历结果：3->2->1->5->4->6
• 后序遍历结果：3->2->5->6->4->1

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4、层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。

设二叉树的根节点所在层数为 1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root);

注意：层序遍历一般需要使用队列。 （队列内容前面已经详细介绍过了）

【思路】先让根入队列，然后再让根出队列，当左子树不为 NULL 时让左子树入队列，当右子树不为NULL时让右子树入队列，然后不断地迭代下去，直至队列为空。记得出队列前要保存当前值来访问到该元素，Pop 到队列当中的值是地址，通过该地址来访问其中的 data。

层序遍历结果为： 3->4->3->8->6->6->7

我们该如何利用队列实现呢？

1. 判断当前队列是否为空。
2. 队列为空：结束；队列非空：取出队列第一个元素入队列。
3. 上一层出来后，再入下一层（即它的左右孩子节点）。

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由于前面已经对队列的各种操作进行了详解，这里就不展开讲了。（直接运用之前写的 Queue.c 和 Queue.h）

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root) // 树的根节点root不为空 将根节点入队列{QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q); // 获取队列头部元素printf("%c ", front->data); // 打印节点值QueuePop(&q); // 出队列// 如果当前树根的左右孩子不为空 则分别入队列if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}}printf("\n");QueueDestroy(&q);
}

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四、二叉树其它接口的实现

1、二叉树的节点个数

按照递归的思想，计算二叉树的节点数量，我们可以认为 二叉树的节点个数 = 左子树数量 + 右子树数量 + 1，其中 1 是当前根节点数量（前提条件是存在根节点）。

⚪【思想 1】

迭代，使用栈来模拟递归的过程，用全局变量 / 静态局部变量来记录节点个数，遍历二叉树的所有节点，并累加节点的个数。

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⚪【思想 2】

递归，利用分治的思想，函数使用带返回值的方式，其内部的递归本质上是一个后序遍厉（左子树->右子树->根节点）。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

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2、二叉树叶子节点个数

按照递归的思想，计算二叉树的叶子节点数量，我们可以认为 叶子节点个数 = 左子树叶子节点个数 + 右子树叶子节点个数 + 0，0 是因为当前根结点有子树，说明根结点不是叶子结点。

⚪【思想】

以 left 和 right 为标志，如果都为 NULL，则说明该节点是叶子节点。

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{// 先判断当前访问的节点是否为空if (root == NULL) {return 0;}// 当前节点不为空，它的左右孩子都为空，说明该节点是叶子节点if (root->left == NULL && root->right == NULL){return 1;}// 当前节点不为空，左右孩子不都为空，则继续往下遍历return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

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3、二叉树第k层节点个数

⚪【思想】

求当前树的第 k 层节点个数 = 左子树的第 k-1 层节点个数 + 右子树的第 k-1 层节点个数 (当 k=1 时，说明此层就是目标层)

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// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{assert(k >= 1);if (root == NULL) // 先判断当前访问的节点是否为空{return 0;}if (k == 1) // 当前节点不为空，而k已经减到1了，说明遍历到了第k层，说明该节点是第k层的{return 1;}// 还没有遍历到第k层，我们就继续往下遍历return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

如何知道这个节点是不是第 k 层的？

求二叉树第 k 层的节点个数，我们从根节点开始往下遍历（按根->左->右的顺序），每遍历一次 k 就减 1一次，当 k==1 时，说明我们遍历到了第 k 层，此时访问该层的节点。如果它不为空，则二叉树第 k 层的节点个数就要 +1。

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4、二叉树查找值为x的节点

⚪【思想】

按照递归思想，先判断当前结点是否是目标节点，然后查找左子树，再查找右子树。

如果左右子树都没有找到，就返回NULL。

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL) // 先判断当前访问的节点是否为空{return NULL;}if (root->data == x) // 判断要找的x值节点是不是当前节点{return root;}// 不是当前节点，则继续去该节点的左子树中找BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);if (ret1){return ret1;}// 还没找到，再继续去该节点的右子树中找BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);if (ret2){return ret2;}return NULL; // 当前节点及其左右子树中都没找到，返回NULL
}

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5、销毁二叉树

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{// 如果使用前中序遍历销毁，节点会先被销毁，变成随机值，就不知道它的左右子树位置了 所以采用后序遍历销毁if (*root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(&((*root)->left));BinaryTreeDestory(&((*root)->right));free(*root);*root = NULL; // 将根节点设置为NULL 防止野指针
}

注意：如果这里使用前序遍历或中序遍历进行销毁，节点会先被销毁，变成随机值，就不知道它的左右子树位置了，所以应该采用后序遍历来销毁二叉树。

如果这里传进来的是一级指针，由于要在函数内改变形参的值，无法改变外部实参的值，所以我们需要在函数外置头节点指针为NULL。

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6、判断二叉树是否是完全二叉树

⚪【思想】

层序遍历时，把空节点也入队列。

• 完全二叉树中，非空节点是连续的，则空节点是连续的。
• 非完全二叉树中，非空节点不是连续的，则空节点不是连续的。

所以在出队时，判断一下，出到第一个空节点时，跳出循环；

在下面重新写一个循环继续出队，并检查出队元素：

• 如果第一个空节点后面的全是空节点，说明是完全二叉树。
• 如果第一个空节点后面的有非空节点，说明是非完全二叉树。

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// 判断二叉树是否是完全二叉树（利用层序遍历的思想来判断）
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root) // 树的根节点root不为空 将根节点入队列{QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q); // 获取队列头部元素QueuePop(&q); //出队列if (front){// 不管当前树根的左右孩子是否为空，都分别入队列QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}else{break; //遇到空后，跳出层序遍历}}// 如果后面全是空，则是完全二叉树，否则不是完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front){QueueDestroy(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true; // 出队的节点中，如果没有出现非空节点，说明是完全二叉树出队的节点中，如果没有出现非空节点，说明是完全二叉树
}

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五、代码整合

1、Queue.h

// Queue.h
#pragma once#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>struct BinaryTreeNode;typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;typedef struct QueueNode
{struct QueueNode* next;QDataType data;
}QNode;typedef struct Queue
{QNode* head;QNode* tail;
}Queue;void QueueInit(Queue* pq);
void QueueDestroy(Queue* pq);
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x);
void QueuePop(Queue* pq);
QDataType QueueFront(Queue* pq);
QDataType QueueBack(Queue* pq);
int QueueSize(Queue* pq);
bool QueueEmpty(Queue* pq);

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2、Queue.c

// Queue.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include "Queue.h"void QueueInit(Queue* pq)
{assert(pq);pq->head = pq->tail = NULL;
}void QueueDestroy(Queue* pq)
{assert(pq);QNode* cur = pq->head;while (cur){QNode* next = cur->next;free(cur);cur = next;}pq->head = pq->tail = NULL;
}void QueuePush(Queue* pq, QDataType x)
{assert(pq);QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));newnode->data = x;newnode->next = NULL;if (pq->head == NULL){pq->head = pq->tail = newnode;}else{pq->tail->next = newnode;pq->tail = newnode;}
}void QueuePop(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));QNode* next = pq->head->next;free(pq->head);pq->head = next;if (pq->head == NULL){pq->tail = NULL;}
}QDataType QueueFront(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->head->data;
}QDataType QueueBack(Queue* pq)
{assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->tail->data;
}int QueueSize(Queue* pq)
{assert(pq);int n = 0;QNode* cur = pq->head;while (cur){++n;cur = cur->next;}return n;
}bool QueueEmpty(Queue* pq)
{assert(pq);return pq->head == NULL;
}

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3、test.c

// test.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include "Queue.h"typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;//动态申请一个新节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(newnode);newnode->data = x;newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;return newnode;
}// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{if (*pi >= n){return NULL;}char ch = a[*pi];(*pi)++;if (ch == '#'){return NULL;}BTNode* newNode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));newNode->data = ch;newNode->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);newNode->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);return newNode;
}// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{// 先判断当前访问的节点是否为空if (root == NULL) {return 0;}// 当前节点不为空，它的左右孩子都为空，说明该节点是叶子节点if (root->left == NULL && root->right == NULL){return 1;}// 当前节点不为空，左右孩子不都为空，则继续往下遍历return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{assert(k >= 1);if (root == NULL) // 先判断当前访问的节点是否为空{return 0;}if (k == 1) // 当前节点不为空，而k已经减到1了，说明遍历到了第k层，说明该节点是第k层的{return 1;}// 还没有遍历到第k层，我们就继续往下遍历return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL) // 先判断当前访问的节点是否为空{return NULL;}if (root->data == x) // 判断要找的x值节点是不是当前节点{return root;}// 不是当前节点，则继续去该节点的左子树中找BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);if (ret1){return ret1;}// 还没找到，再继续去该节点的右子树中找BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);if (ret2){return ret2;}return NULL; // 当前节点及其左右子树中都没找到，返回NULL
}// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{// 如果使用前中序遍历销毁，节点会先被销毁，变成随机值，就不知道它的左右子树位置了 所以采用后序遍历销毁if (*root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(&((*root)->left));BinaryTreeDestory(&((*root)->right));free(*root);*root = NULL; // 将根节点设置为NULL 防止野指针
}// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) // 根->左子树->右子树
{if (root == NULL){printf("# "); // 用#代表NULLreturn;}printf("%c ", root->data);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)// 左子树->根->右子树
{if (root == NULL){printf("# ");return;}BinaryTreeInOrder(root->left);printf("%c ", root->data);BinaryTreeInOrder(root->right);
}// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) // 左子树->右子树->根
{if (root == NULL){printf("# ");return;}BinaryTreePostOrder(root->left);BinaryTreePostOrder(root->right);printf("%c ", root->data);
}// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root) // 树的根节点root不为空 将根节点入队列{QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q); // 获取队列头部元素printf("%c ", front->data); // 打印节点值QueuePop(&q); // 出队列// 如果当前树根的左右孩子不为空 则分别入队列if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}}printf("\n");QueueDestroy(&q);
}// 判断二叉树是否是完全二叉树（利用层序遍历的思想来判断）
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root) // 树的根节点root不为空 将根节点入队列{QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q); // 获取队列头部元素QueuePop(&q); //出队列if (front){// 不管当前树根的左右孩子是否为空，都分别入队列QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}else{break; //遇到空后，跳出层序遍历}}// 如果后面全是空，则是完全二叉树，否则不是完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front){QueueDestroy(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true; // 出队的节点中，如果没有出现非空节点，说明是完全二叉树出队的节点中，如果没有出现非空节点，说明是完全二叉树
}int main()
{BTDataType a[] = { 'A', 'B', 'D', '#', '#', 'E', '#', 'H', '#', '#', 'C', 'F', '#', '#', 'G', '#', '#' };int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]) - 1; // 减去末尾的'\0'int pos = 0;BTNode* root = BinaryTreeCreate(a, n, &pos); // 构建二叉树printf("TreeSize:%d\n", BinaryTreeSize(root)); // 二叉树节点个数printf("TreeLeafSize:%d\n", BinaryTreeLeafSize(root)); // 二叉树叶子节点个数printf("Tree2LevelSize:%d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 2)); // 二叉树第k层节点个数printf("TreeFindB:%p\n", BinaryTreeFind(root, 'B')); // 二叉树查找值为x的节点// 前序遍历BinaryTreePrevOrder(root);printf("\n");// 中序遍历BinaryTreeInOrder(root);printf("\n");// 后序遍历BinaryTreePostOrder(root);printf("\n");BinaryTreeLevelOrder(root); // 层序遍历printf("TreeComplete:%d\n", BinaryTreeComplete(root)); // 判断二叉树是否是完全二叉树BinaryTreeDestory(&root);// 二叉树销毁printf("二叉树已销毁\n");return 0;
}

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六、程序运行整体效果