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相似矩阵

引言

• 对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵
  • 对角阵相关的乘法运算是很高效的
  • 相似方阵是和对角阵相关的概念

相似矩阵定义

• 设$\mathbf{A},\mathbf{B}$是$n$阶方阵,如果存在$n$阶可逆方阵$\mathbf{P}$,使得${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$,则称方阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$相似,记为$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$

相似变换

• 对$\mathbf{A}$进行运算${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$称为对$\mathbf{A}$进行相似变换

相似变换矩阵

• 矩阵$\mathbf{P}$称为相似变换${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$的相似变换矩阵

相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同

• 若$n$阶矩阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$相似,则$\mathbf{A},\mathbf{B}$的特征多项式相同,从而$\mathbf{A},\mathbf{B}$的特征值相同

• 证明:

  • 由$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$,有$\mathbf{P}$满足${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$
  • 所以$f_{\mathbf{B}}(\lambda )$=$|B-\lambda \mathbf{E}|$=$|{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}-\lambda \mathbf{E}|$
  • 由于$\mathbf{P}\lambda \mathbf{E}{\mathbf{P}}^{-1}$=$\lambda \mathbf{PE}{\mathbf{P}}^{-1}$=$\lambda \mathbf{P}{\mathbf{P}}^{-1}$=$\lambda \mathbf{E}$,因此,可以将$\lambda \mathbf{E}$变形为$\mathbf{P}(\lambda \mathbf{E}){\mathbf{P}}^{-1}$或${\mathbf{P}}^{-1}(\lambda \mathbf{E})\mathbf{P}$
  • $f_{\mathbf{B}}(\lambda )=|{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}-{\mathbf{P}}^{-1}(\lambda \mathbf{E})\mathbf{P}|$=$|{\mathbf{P}}^{-1}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{P}|$=$|{\mathbf{P}}^{-1}||A-\lambda \mathbf{E}||P|$=$|P{|}^{-1}|A-\lambda \mathbf{E}||P|$=$|A-\lambda \mathbf{E}|$
  • 显然$f_{\mathbf{A}}(\lambda )=f_{\mathbf{B}}(\lambda )$

• 但是,特征值相同的方阵未必相似

推论:与对角阵相似的矩阵性质定理

• 与对角阵相似的矩阵的特征值就是对角阵对角元素

• 若$n$阶矩阵$\mathbf{A}\sim \Lambda ({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$,则${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$是$A$的$n$个特征值

• 证明:对角阵的特征值是对角元素,由本节定理可知,$\mathbf{A}$的特征值与$\Lambda$相同,所以推论成立

相似矩阵性质

• $\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$

• $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}\Rightarrow \mathbf{B}\sim \mathbf{A}$

  • ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B},\mathbf{A}=\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1}$

• $\mathbf{A}\sim \mathbf{B},\mathbf{B}\sim \mathbf{C}\Rightarrow \mathbf{A}\sim \mathbf{C}$

  • ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B},{\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}=\mathbf{C}$
  • $\mathbf{QC}{\mathbf{Q}}^{-1}=\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$
  • $\mathbf{PQC}{\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}=\mathbf{A}$
  • $(\mathbf{PQ}{)}^{-1}={\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}$
  • 因此$\mathbf{C}\sim \mathbf{A}$

• 单位矩阵只和自身相似

  • 设方阵$\mathbf{A}$和单位阵$\mathbf{E}$相似
  • ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{E}$
  • $\mathbf{A}=\mathbf{PE}{\mathbf{P}}^{-1}=\mathbf{E}$
  • 因此和单位阵$\mathbf{E}$相似的矩阵是$\mathbf{E}$本身

• $|\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|$

  • $|\mathbf{B}|=|P^{-1}\mathbf{B}P|=|P^{-1}||\mathbf{B}||P|=|P{|}^{-1}|P||\mathbf{B}|=\mathbf{B}$

• $tr(\mathbf{A})=tr(\mathbf{B})$

  • $\mathbf{A},\mathbf{B}$具有相同的特征值
  • $tr(\mathbf{A})=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$
  • $tr(\mathbf{B})=\sum _{i=1}^n{b}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$
  • $\therefore tr(\mathbf{A})=tr(\mathbf{B})$

• $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$

  • $\mathbf{A}=P^{-1}\mathbf{B}{P}^{}$
    • $P,P^{-1}$都是可逆矩阵,它们都可以表示为一系列的初等矩阵的乘积
    • 因此,$\mathbf{A}$相当于有$\mathbf{B}$经过初等变换得到的等价矩阵,它们的秩相等(初等变换不改变秩)

• ${\mathbf{A}}^T\sim {\mathbf{B}}^T$

  • ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$
  • ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}=\mathbf{A}$
  • $({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}{)}^{\mathbf{T}}={\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}$
    • $P^T{\mathbf{A}}^T(P^{-1}{)}^T={\mathbf{B}}^T$
    • $P^T{\mathbf{A}}^T(P^T{)}^{-1}={\mathbf{B}}^T$
    • 可见${\mathbf{A}}^T\sim {\mathbf{B}}^T$

• ${\mathbf{A}}^m\sim {\mathbf{B}}^m$

  • ${\mathbf{B}}^m=(P^{-1}\mathbf{A}P{)}^m=(P^{-1}\mathbf{A}P)(P^{-1}\mathbf{A}P)\cdots (P^{-1}\mathbf{A}P)$
    • $=P^{-1}\mathbf{A}(P{P}^{-1})\mathbf{A}(P\cdots P^{-1})\mathbf{A}P$
    • $=P^{-1}{\mathbf{A}}^{m}P$
  • $P^{-1}{\mathbf{A}}^{m}P={\mathbf{B}}^m$

• 若${\mathbf{A}}^{-1}$存在,则${\mathbf{B}}^{-1}$存在,${\mathbf{A}}^{-1}\sim {\mathbf{B}}^{-1},{\mathbf{A}}^{\ast }\sim {\mathbf{B}}^{\ast }$

  • $\mathbf{B}$可逆:

    • 方法1:
    • $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}\Rightarrow |\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|=k$
    • ${\mathbf{A}}^{-1}$存在,$|\mathbf{A}|\ne 0$,则$|\mathbf{B}|=|\mathbf{A}|\ne 0$
    • 方法2:
    • 由于\bold{A}可逆,则$P^{-1}\mathbf{A}P=\mathbf{B}$表明,$\mathbf{B}$是可逆矩阵的乘积,所以\bold{B}也可逆

  • ${\mathbf{A}}^{-1}=P{\mathbf{B}}^{-1}{P}^{-1}$,因此${\mathbf{B}}^{-1}\sim {\mathbf{A}}^{-1}$

    • 设$P^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}P={\mathbf{B}}^{-1}$
      • ${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }=k^{-1}{\mathbf{A}}^{\ast }$
      • ${\mathbf{B}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{B}|}{\mathbf{B}}^{\ast }=k^{-1}{\mathbf{B}}^{\ast }$
      • $P^{-1}{k}^{-1}{\mathbf{A}}^{\ast }P=k^{-1}{\mathbf{B}}^{\ast }$
      • $P^{-1}{\mathbf{A}}^{\ast }P={\mathbf{B}}^{\ast }$

相似矩阵的乘方性质

设$\mathbf{A},\mathbf{B}$相似${\mathbf{A}=\mathbf{PB}}^k{\mathbf{P}}^{-1}$<0>

• ${\mathbf{A}}^k$=$\mathbf{P}{\mathbf{B}}^k{\mathbf{P}}^{-1}$<1>
  • 推导:${\mathbf{A}}^k$=$(\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1})(\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1})\cdots (\mathbf{PB}{\mathbf{P}}^{-1})$
    • =$\mathbf{PB}({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{B}({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{B}\cdots \mathbf{B}({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{B}{\mathbf{P}}^{-1}$
    • =$\mathbf{P}{\mathbf{B}}^k{\mathbf{P}}^{-1}$

相似矩阵和矩阵多项式

• 设矩阵多项式$f(\mathbf{A})=\sum _{i=0}^m{a}_i{\mathbf{A}}^i$<2>,将<1>代入<2>有:$f(\mathbf{A})$=$\sum _{i=0}^m{a}_i{\mathbf{A}}^i$=$\sum _{i=0}^m{a}_i(\mathbf{P}{\mathbf{B}}^i{\mathbf{P}}^{-1}))$=$\sum _{i=0}^m\mathbf{P}(a_i{\mathbf{B}}^i){\mathbf{P}}^{-1}$,根据矩阵乘法的分配律,$f(\mathbf{A})$=$\mathbf{P}({\sum }_{i=0}^m{a}_i{\mathbf{B}}^i){\mathbf{P}}^{-1}$=$\mathbf{P}f(\mathbf{B}){\mathbf{P}}^{-1}$

相似对角阵

• 当$\mathbf{A}$相似于某个对角阵$\mathbf{\Lambda }$,则:

  • ${\mathbf{A}}^k$=$\mathbf{P}{\mathbf{\Lambda }}^k{\mathbf{P}}^{-1}$
  • $f(\mathbf{A})$=$\mathbf{P}f(\mathbf{\Lambda }){\mathbf{P}}^{-1}$

• 由此可见,若矩阵$\mathbf{A}$能够表示成$\mathbf{A}=\mathbf{P}\Lambda {\mathbf{P}}^{-1}$(相似对角化问题),矩阵$\mathbf{A}$的多项式问题就能够被转换为对角阵的多项式

对角阵多项式的展开

• $f(\mathbf{\Lambda })={\sum }_{i=0}^m{a}_i{\mathbf{\Lambda }}^i$=$\text{diag}(f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\cdots ,f({\lambda }_n))$,

• 推导:

  • 对角阵乘方运算性质:若$\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$为对角阵,则${\mathbf{\Lambda }}^k$=$\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)$

  • $$\begin{array}{rl}f(\Lambda )=& a_0\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{array}\right)+a_1\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)+\cdots +a_n\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^n& & & \\ & {\lambda }_2^n& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n^n\end{array}\right)\\ =& \left(\begin{array}{cccc}{\sum }_{i=0}^m{a}_i{\lambda }_1^i& & & \\ & {\sum }_{i=0}^m{a}_i{\lambda }_2^i& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\sum }_{i=0}^m{a}_i{\lambda }_n^i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}f({\lambda }_1)& & & \\ & f({\lambda }_2)& & \\ & & \ddots & \\ & & & f({\lambda }_n)\end{array}\right)\end{array}$$

  • 这个展开式告诉我们,对角阵(矩阵)的多项式可以归结为数(标量)的多项式的计算

小结

• 上述结论说明,相似阵之间有很多共同点
• 特别是,当$\mathbf{A}$有一个与之相似的对角阵时,许多关于$\mathbf{A}$的计算就可以被简化,例如矩阵多项式的计算,这个问题归结为方阵相似对角化