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【2023高教社杯】B题 多波束测线问题 问题分析、数学模型及参考文献

1 题目

1.1 问题背景

多波束测深系统是利用声波在水中的传播特性来测量水体深度的技术，是在单波束测深的基础上发展起来的，该系统在与航迹垂直的平面内一次能发射出数十个乃至上百个波束，再由接收换能器接收由海底返回的声波。多波束测深系统克服了单波束测深的缺点，在海底平坦的海域内，能够测量出以测量船测线为轴线且具有一定宽度的全覆盖水深条带。

多波束测深条带的覆盖宽度 𝑊 随换能器开角 𝜃 和水深 𝐷 的变化而变化。若测线相互平行且海底地形平坦，则相邻条带之间的重叠率定义为 𝜂 = 1 − 𝑑 ，其中 𝑑 为相邻两条测线的间𝑊距，𝑊 为条带的覆盖宽度。若 𝜂 < 0，则表示漏测。为保证测量的便利性和数据的完整性，相邻条带之间应有 10%~20% 的重叠率。但真实海底地形起伏变化大，若采用海区平均水深设计测线间隔，虽然条带之间的平均重叠率可以满足要求，但在水深较浅处会出现漏测的情况（图 5），影响测量质量；若采用海区最浅处水深设计测线间隔，虽然最浅处的重叠率可以满足要求，但在水深较深处会出现重叠过多的情况（图 6），数据冗余量大，影响测量效率。

问题

问题 1： 与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为 𝛼 的斜线（图7），称 𝛼 为坡度。请建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。

图 7 问题 1 的示意图

若多波束换能器的开角为 120∘，坡度为 1.5∘，海域中心点处的海水深度为 70 m，利用上述模型计算表 1 中所列位置的指标值，将结果以表 1 的格式放在正文中，同时保存到 result1.xlsx 文件中。

表1 问题1 的计算结果

测线距中心点处的距离/m	−800	−600	−400	−200	0	200	400	600	800
海水深度/m					70
覆盖宽度/m
与前一条测线的重叠率/%	—

​

问题 2： 考虑一个矩形待测海域（图 8），测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角为 𝛽，请建立多波束测深覆盖宽度的数学模型。

图 8 问题 2 的示意图

若多波束换能器的开角为 120∘，坡度为 1.5∘，海域中心点处的海水深度为 120 m，利用上述模型计算表 2 中所列位置多波束测深的覆盖宽度，将结果以表 2 的格式放在正文中，同时保存到 result2.xlsx 文件中。

表 2 问题 2 的计算结果

覆盖宽度/m	测量船距海域中心点处的距离/海里
0	0.3	0.6	0.9	1.2	1.5	1.8	2.1
测线方向夹角/°	0
45
90
135
180
225
270
315

问题 3： 考虑一个南北长 2 海里、东西宽 4 海里的矩形海域内，海域中心点处的海水深度为 110 m，西深东浅，坡度为 1.5∘，多波束换能器的开角为 120∘。请设计一组测量长度最短、可完全覆盖整个待测海域的测线，且相邻条带之间的重叠率满足 10%~20% 的要求。

问题 4： 海水深度数据（附件.xlsx）是若干年前某海域（南北长 5 海里、东西宽 4 海里）
单波束测量的测深数据，现希望利用这组数据为多波束测量船的测量布线提供帮助。在设计测线时，有如下要求：
（1） 沿测线扫描形成的条带尽可能地覆盖整个待测海域；
（2）相邻条带之间的重叠率尽量控制在 20% 以下；
（3） 测线的总长度尽可能短。在设计出具体的测线后，请计算如下指标：a.测线的总长度；b. 漏测海区占总待测海域面积的百分比；c. 在重叠区域中， 重叠率超过 20% 部分的总长度。
注 在附件中，横、纵坐标的单位是海里，海水深度的单位是米。1 海里=1852 米。附件 海水深度数据

2 问题分析

2.1 问题一

这个题需要建立多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。首先，需要确定多波束测深系统中每个波束所覆盖的区域。由于多波束测深系统能够在与航迹垂直的平面内发射数十个乃至上百个波束，因此可以将整个海域划分为若干个小区域，每个小区域都有自己的覆盖宽度W和重叠率$\eta$。
其次，覆盖宽度W的大小与换能器开角$\theta$和水深D有关。可以根据实际数据和测深原理来建立覆盖宽度W与$\theta$ 和D的关系模型。最后，相邻条带之间的重叠率$\eta $可以通过计算相邻两条测线的间距d，并根据d和覆盖宽度W的关系来确定。

2.2 问题二

建立多波束测深覆盖宽度的数学模型，以求解在矩形待测海域中，测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角为 $\beta$时，覆盖宽度 W 的数学表达式。

由题设可知，多波束测深覆盖宽度 W 与换能器开角 $\theta$ 和水深 D 相关，并且相邻条带之间应有一定的重叠率 $\eta$。要构建数学模型，可以考虑以下几点因素：

（1）换能器开角 $\theta$ ：换能器开角的大小将影响覆盖宽度 W 的大小。一般情况下，换能器开角越大，覆盖宽度也会相应增大。

（2）水深 D ：水深越大，覆盖宽度也会相应增大。这是因为，在水深较大的区域，声波传播的距离更长，因此覆盖宽度需要更大才能实现全覆盖。

（3）相邻条带之间的重叠率 $\eta$ ：根据题设要求，相邻条带之间应有一定的重叠率，一般为10%~20%。通过调整测线间隔，可以控制重叠率的大小。

2.3 问题三

根据问题背景，需要设计一组测量长度最短、可完全覆盖整个待测海域的测线，并且要求相邻条带之间的重叠率满足 10%~20% 的要求。考虑到海域中心点处的海水深度为 110 m，海域的南北长为 2 海里，东西宽为 4 海里，海底的坡度为 1.5$\circ$，多波束换能器的开角为 120$\circ$。为了设计满足要求的测线，可以采用以下方法：

（1）利用海域的南北长和东西宽来确定需要的测线条数。

（2）根据海底坡度和海水深度，在每条测线上确定一定间距的测点。

（3）在第一条测线上选择一个起点，在该起点的水平投影上选择第一个测点，然后根据换能器开角确定下一个测点的位置，并以此类推，直到覆盖整个待测海域。

（4）计算每个测线的长度，并根据重叠率的要求进行调整。

2.4 问题四

这是一个优化问题，需要考虑三个指标：测线总长度、漏测海区占比、重叠率超过20%的总长度。为了达到这些指标，需要设计一个合理的多波束测线。由于海底地形变化复杂，而且数据只有单波束测量的海深信息，因此需要通过数学模型来解决该问题。

数学模型过程的话，可以按照以下的思路

（1）建立坐标系和网格
通过题目背景描述和文件附件中提供的数据，可以建立一个坐标系和网格，使得整个希望测量的海域被覆盖。同时，为了方便处理问题，可以将网格等分成大小相同的子区域。

（2）设计波束扫描范围和扫描方向
根据多波束测线的原理，可以将船体在水平方向上的扫描范围分为若干个波束，每个波束的扫描范围为一条扇形区域，扇形区域的中心在测线上，开始和结束角度通过设计波束的开角确定。同时，需要确定波束的扫描方向，可以采取等角度分布或等角度间距分布。

（3）优化测线设计
在确定了波束的扫描范围和方向后，可以使用数学优化方法来设计测线。需要依据要求，设计出一种测线布局方式，可以覆盖整个测量区域，并使相邻条带之间的重叠率尽量控制在20%以下，同时使总长度最短。可以采取贪心算法或遗传算法等优化方法。

（4）计算指标
根据所设计的测线布局方式，可以计算出测线总长度和漏测海区占比。同时，为了计算重叠率超过20%的总长度，需要对相邻条带之间的区域进行计算，并判断是否超过20%。

3 数学模型

3.1 问题一

多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型可以表示为：
$$W=2(Dtan({\theta }_i)-(d/2)tan({\theta }_0))$$

$$\eta =1-d/W$$

其中，$\alpha$ 为坡度，g ≥ 0为任意波束编号，${\theta }_g$为波束 g 的发射角度，W 为波束的覆盖宽度，d 为波束间距，D 为水深，$\eta$ 为相邻条带之间的重叠率。

（1）对于每个测线位置x，根据海水深度D和坡度α计算出每个波束的发射角度${\theta }_g$：
$${\theta }_g=ta{n}^{-1}((x+d/2)tan(\alpha )-Dtan(ope{n}_{a}ngle/2-g\pi /180))$$

（2）根据模型公式依次计算每个波束的覆盖宽度$W_g$：
$$W_g=2(Dtan({\theta }_g)-(d/2)tan({\theta }_0))$$

（3）依次计算每个测线与前一条测线的重叠率${\eta }_g$：

$${\eta }_g=1-d/W_g，{\eta }_0=0$$

3.2 问题二

多波束测深覆盖宽度的数学模型可表示为：

$$W=D\times tan(\theta /2)\times (1-\eta )$$

其中，
W 为多波束测深的覆盖宽度；
D 为水深；
$\theta$ 为换能器开角；
$\eta$ 为相邻条带之间的重叠率（$\eta$ = 1 - d，d 为相邻两条测线的间距）。

3.3 问题三

设 n 为测线条数， d 为相邻两条测线的间距。根据问题背景，将问题转化为求解 n 和 d 的最优解，使得满足以下条件：
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3.4 问题四

需要设计的多波束测深系统需要对$m$个点进行测量。建立二维直角坐标系，令点$i$的坐标为$(x_i,y_i)$，对海域进行网格化处理，将整个海域分成$n\times n$个小网格，每个小网格的边长为$d$。设扫描的总宽度为$W$，每个波束的宽度为$w$，角度间距为$\alpha$（即相邻波束之间的角度度数），开角为$\theta$。则有：
$$W=\frac{mw}{\alpha }(1)$$

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