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引入：

• 前端里程计能给出一个短时间内的轨迹和地图，时间长则不准确；
• 为了得到长时间内最优轨迹和地图，构建一个规模更大的优化问题。在后端优化中，通常考虑更长时间内的状态估计问题。

1. 理论推导

还是摆出最经典的SLAM运动和观测方程
$$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}_k=f(x_{k-1},u_k)+w_k\\ z_{k,j}=h(y_j,x_k)+v_{k,j}\end{array}$$
实际上要解决： 拥有某些运动数据 $u$ 和观测数据 $z$ 时，如何确定状态量 $x$ 和 $y$ 的分布。

• 解决如下：
  令 $x_k$ 为 $k$ 时刻所有的未知量， x k ≜ { x k , y 1 , . . . , y m } x_k \triangleq \{x_k, y_1,...,y_m \} xk​≜{xk​,y1​,...,ym​}
  同时，令 k 时刻所有的观测值为 $z_k$。
  代入上式，运动和观测方程以后如下：
  $$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}_k=f(x_{k-1},u_k)+w_k\\ z_{k,j}=h(y_j,x_k)+v_{k,j}\end{array}$$

在 $k$ 时刻，用 $0-k$ 的数据估计现在的状态分布：

$$\begin{gathered} P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k}) \\ \Downarrow Bayes法则交换z和x \\ P(z_k|x_k)P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1}) \\ \Downarrow 按x_{k-1}时刻为条件概率展开 \\ \int P(x_k|x_{k-1},x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})P(x_{k-1}|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})\text{d}{x}_{k-1} \end{gathered}$$

2. 主流解法

上式$$\int P(x_k|x_{k-1},x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})P(x_{k-1}|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})\text{d}{x}_{k-1}$$

主流的有两种做法：

• 1. 假设马尔科夫性，当前状态仅和上个时态有关，用EKF等滤波器方法做状态估计；前两讲讲到过
• 2. 当前状态和之前所有状态都有关系，基于BA用非线性优化等优化框架做。

3. 用EKF估计状态

在马尔科夫性成立后，当前状态仅和上个时态有关，上边左右式可分别简化为(右式中，$u_k$ 和 $k-1$ 时刻的状态无关，拿掉！)：
$$\begin{gathered} 左边：P(x_k|x_{k-1},x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})=P(x_k|x_{k-1},u_k) \\ 右边：P(x_{k-1}|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})=P(x_{k-1}|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1}) \end{gathered}$$

• 由前边的两节知识，可知上式中我们只需维护一个状态量即可，不断迭代更新即可。假设它满足高斯分布，只需要考虑维护状态量的均值和协方差即可。
• 另记：$\hat{x}$ 表示先验， $\bar{x}$ 表示后验

根据高斯分布性质可得EKF中的预测环节：
$$P(x_k|x_0,u_{1:k},z_{1:k-1})=N(A_k{\bar{x}}_{k-1}+u_k,A_k{\hat{P}}_{k-1}{A}_k^T+R)=记为N({\bar{x}}_k,{\bar{P}}_k)$$

如此，就可以带入我们的EKF中进行使用。

3.1. 基于EKF代表解法的感悟

运算快，资源低；
局限：

• 1. 马尔科夫性质—无法解决类似回环等当前状态与很久之前数据有关的问题
• 2. 对 $x_k$ 在当前时刻的一次线性化，计算出后验概率，是假设该点的线性化在后验概率处还是有效的，实际上不然。只有小范围成立，在远处的地方并不能近似，这是EKF的 非线性误差 。
• 2.1 而在非线性优化方法中，在每迭代一次，状态发生改变后就会做一阶或者二阶近似，重新做泰勒展开，适用范围更加广泛，状态变化大时候也适用。
• 3. EKF SLAM不可适用于大场景，landmark多的时候，均值和方差是很大的。

4. 用BA法估计状态

BA(Bundle Adjustment)：源于三维重建，在这里的意义是 通过不断调整相机的姿态和特征点的位置，使从每一个特征点反射出来的几束光线都收束到相机中心，类似求解只有观测方程的SLAM问题。

4.1 构建最小二乘问题

针对此问题，观测方程：

$$z=h(\xi ,p)$$

$\xi$ 是位姿(李代数表示) ，$p$ 是路标(特征点的位置), 观测误差如下：
$$e=z-h(\xi ,p)$$

代价函数(Cost Function)如下：

$$\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n||e_{ij}|{|}^2=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n||z_{ij}-h({\xi }_i,p_j)|{|}^2$$

• 其中 $z(i,j)$ 表示在位姿 ${\xi }_i$ 处观察路标 $p_j$ 产生的数据。当该式最小时，我们的估计位姿 ${\xi }_i$ 和 路标 $p_j$ 最接近真实值。

---

为了便于理解这里的 $h$ ，举在相机中的例子：

• 这里 $h$ 表示将世界坐标下的点 $p[x,y,z]$ 转到像素坐标(也就是程序可读图片的点位置的坐标)下的点 $u,v$ ：如下
  

这就是一个观测方程 $h$ 的一种具体参数化的过程。

4.2 求解BA推导

再看要求解的非线性最小二乘问题( $h$ 非线性显然 )：

$$\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n||z_{ij}-h({\xi }_i,p_j)|{|}^2$$

首先定义要优化的变量：

$$x=[{\xi }_1,...,{\xi }_m,p_1,...,p_n{]}^T$$

注意：虽然一个误差项针对的是单个位姿和路标点，但是在整体BA中，必须将优化变量定义为所有待优化的变量。

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根据前文：求解非线性问题，要给一个小增量和增量方向,最终要求的也是这个 $\Delta x$，这里给增量以后的代价函数为：

$$\frac{1}{2}||f(x+\Delta x)|{|}^2\approx \frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n||e_{ij}+F_{ij}\Delta {\xi }_i+E_{ij}\Delta p_j|{|}^2$$

其中 $F_{ij}$ 表示代价函数对相机姿态的偏导数， $E_{ij}$ 表示对路标点位置的偏导数。

将相机位姿，和空间点变量分别放在一起：上式如下：

$$\begin{gathered} x_c=[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_m{]}^T\in {\mathbb{R}}^{6m}，x_p=[p_1,p_2,...,p_m{]}^T\in {\mathbb{R}}^{3n} \\ \Downarrow \\ \frac{1}{2}||f(x+\Delta x)|{|}^2=\frac{1}{2}||e+F\Delta x_c+E\Delta x_p|{|}^2 \end{gathered}$$

根据前边的非线性优化，最终我们要面临

$$H\Delta x=g$$

而求解它要用的雅克比矩阵可以根据位姿和路标分别定义为：

$$J=[FE]$$

则：
$$H=J^{T}J=\left[\begin{array}{cc}{F}^{T}F& F^{T}E\\ E^{T}F& E^{T}E\end{array}\right]$$

点越多，就代表这个H的维度越大，计算复杂，资源占得多，接下来分析如何观察这个 $H$ 的特点。

4.3 H的稀疏结构

根据前边，我们知道 $$H=J^{T}J$$,$H$的研究放在 $J$ 上，对于J，考虑一个 $e_{ij}$ 它的表述如下：

几何意义就是：它只涉及第 i 个矩阵和第 j 个路标，其余都为0，描述的是 ${\xi }_i$看到 $p_j$ 这件事，且前边的是位姿导数（6维），后边的是路标（三维）。

• 举例说明

假设有2个相机，6个路标。可视化它们的关系如下(可以观测到，则底下用实线连接):

根据上边，把 $C_1$ 观察到 $P_1$ 的雅克比直观出来，则如下，因为 $C_1$ 六维：

这个时候，将所有 $J_{ij}$ 和 它们相乘之后的 $H$ 同样直观展示：

我们发现：H对应邻接矩阵，可以知道 假如 $C_i$ 可以观察到 $P_j$ ，那么 $H_{ij}$ 则是有值的，否则是为0.如下：

4.4 根据H稀疏性求解

根据以上H性质，可以将H分块为：其中 $B$ 纯位姿， $C$对角线纯路标，B非对角非零表示共视关系：
$$H=\left[\begin{array}{cc}B& E\\ E^T& C\end{array}\right]$$

这个时候就可以求解 $$H\Delta x=g$$ 这个方程：

$$\left[\begin{array}{cc}B& E\\ E^T& C\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta x_c\\ \Delta x_p\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}v\\ w\end{array}\right]$$

此时通过Schur消元(也叫边缘化)—就是先求一个比如 $\Delta x_c$ 然后再反代回去求 $\Delta x_p$ 的方法去求解。

4.5 鲁棒核函数

• 说明问题：我们采用的是误差项的二范数平方和，如果出现误匹配，单个项的误差就很大，此时优化算法会均摊误差去调整其他正确的数据。
• 问题原因：误差很大时，二范数增长过快(平方嘛)
• 解决：鲁棒核函数–把二范数度量换成增长较低，同时保证光滑(求导要求)的表述，因为它使得整个优化结果更为鲁棒，所以又叫它鲁棒核函数(Robust Kernel)。

列举一个常见的鲁棒核函数，Huber核：

$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{e}^{2}if|e|\le \delta ,\\ \delta (|e|-\frac{1}{2}\delta )otherwise.\end{array}$$
它的图像如下：

此外还有Cauchy核，Tukey核等。

4.6 编程注意

在使用G2O求解时，所有点云都要进行Schur，因为定义的Matrix维度仅仅是相机姿态参数的维度，要确保它不包含其他路标维度，不然报错。

5.总结

• 假设马尔科夫，EKF代表的滤波器模型
• 考虑所有状态，构成最小二乘问题，只有观测时又称BA。