洛谷P8815：逻辑表达式 ← CSP-J 2022 复赛第3题

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P8815
https://www.acwing.com/problem/content/4733/

【题目描述】
逻辑表达式是计算机科学中的重要概念和工具，包含逻辑值、逻辑运算、逻辑运算优先级等内容。
在一个逻辑表达式中，元素的值只有两种可能：0 （表示假）和 1 （表示真）。
元素之间有多种可能的逻辑运算，本题中只需考虑如下两种：
“与”（符号为&）和“或”（符号为|）。
其运算规则如下：

0&0 = 0&1 = 1&0 = 0，1&1 = 1；
0|0 = 0，0|1 = 1|0 = 1|1 = 1。

在一个逻辑表达式中还可能有括号。
规定在运算时，括号内的部分先运算；两种运算并列时，& 运算优先于 | 运算；同种运算并列时，从左向右运算。
比如，表达式 0|1&0 的运算顺序等同于 0|(1&0)；表达式 0&1&0|1 的运算顺序等同于 ((0&1)&0)|1。
此外，在 C++ 等语言的有些编译器中，对逻辑表达式的计算会采用一种“短路”的策略。
在形如 a&b 的逻辑表达式中，会先计算 a 部分的值，如果 a=0a=0，那么整个逻辑表达式的值就一定为 0，故无需再计算 b 部分的值；同理，在形如 a|b 的逻辑表达式中，会先计算 a 部分的值，如果 a=1a=1，那么整个逻辑表达式的值就一定为 1，无需再计算 b 部分的值。
现在给你一个逻辑表达式，你需要计算出它的值，并且统计出在计算过程中，两种类型的“短路”各出现了多少次。
需要注意的是，如果某处“短路”包含在更外层被“短路”的部分内则不被统计，如表达式 1|(0&1) 中，尽管 0&1 是一处“短路”，但由于外层的 1|(0&1) 本身就是一处“短路”，无需再计算 0&1 部分的值，因此不应当把这里的 0&1 计入一处“短路”。

【输入格式】
输入共一行，一个非空字符串 s 表示待计算的逻辑表达式。

【输出格式】
输出共两行，第一行输出一个字符 0 或 1，表示这个逻辑表达式的值；第二行输出两个非负整数，分别表示计算上述逻辑表达式的过程中，形如 a&b 和 a|b 的“短路”各出现了多少次。

【数据范围】
设 |s| 为字符串 s 的长度。
对于所有数据，1≤|s|≤10^6。保证 s 中仅含有字符 0、1、&、|、(、) 且是一个符合规范的逻辑表达式。
保证输入字符串的开头、中间和结尾均无额外的空格。
保证 s 中没有重复的括号嵌套（即没有形如 ((a)) 形式的子串，其中 a 是符合规范的逻辑表达式）。

其中：
特殊性质 1 为：保证 s 中没有字符 &。
特殊性质 2 为：保证 s 中没有字符 |。
特殊性质 3 为：保证 s 中没有字符 ( 和 )。

【输入输出样例】
输入样例1：

0&(1|0)|(1|1|1&0)

输出样例1：

1
1 2

样例1解释

该逻辑表达式的计算过程如下，每一行的注释表示上一行计算的过程：

0&(1|0)|(1|1|1&0)
=(0&(1|0))|((1|1)|(1&0)) //用括号标明计算顺序
=0|((1|1)|(1&0)) //先计算最左侧的&，是一次形如a&b的“短路”
=0|(1|(1&0)) //再计算中间的|，是一次形如a|b的“短路”
=0|1 //再计算中间的|，是一次形如a|b的“短路”
=1

输入样例2：

(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0

输出样例2：

0
2 3

【提示】
以下给出一个“符合规范的逻辑表达式”的形式化定义：
● 字符串 0 和 1 是符合规范的；
● 如果字符串 s 是符合规范的，且 s 不是形如 (t) 的字符串（其中 t 是符合规范的），那么字符串 (s) 也是符合规范的；
● 如果字符串 a 和 b 均是符合规范的，那么字符串 a&b、a|b 均是符合规范的；
● 所有符合规范的逻辑表达式均可由以上方法生成。

【算法分析】
● 利用分治法求解。
● 从下标 1 处开始输入字符串的一种 C++ 语法：scanf(“%s“,str+1)；。完整应用代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=1e5+5;
char str[N];int main() {scanf("%s",str+1); //从s的首地址+1开始输入int len=strlen(str+1);cout<<len<<endl;for(int i=1; i<=len; i++) cout<<str[i]<<" ";return 0;
}/*
in:
abcdeout:
5
a b c d e
*/

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=1e6+5;
char str[N];
/*
lor[x] 代表在第 x 层括号内的最后一个 ｜ 运算符的下标
lnd[x] 代表在第 x 层括号内的最后一个 & 运算符的下标
cor[i] 代表当前和 i 同层的最后一个 | 运算符的下标
cnd[i] 代表当前和 i 同层的最后一个 & 运算符的下标
*/
int lor[N],lnd[N],cor[N],cnd[N];
int cnt_and,cnt_or;int dfs(int le,int ri) {if(cor[ri]>=le) {int ans=dfs(le,cor[ri]-1);if(ans==1) {cnt_or++;return 1;}return (ans|dfs(cor[ri]+1,ri));}if(cnd[ri]>=le) {int ans=dfs(le,cnd[ri]-1);if(ans==0) {cnt_and++;return 0;}return(ans&dfs(cnd[ri]+1,ri));}if(str[le]=='(' && str[ri]==')') {return dfs(le+1,ri-1);}return str[le]-'0';
}int main() {scanf("%s",str+1); //从s的首地址+1处开始输入字符串int len=strlen(str+1);int x=0; //括号层数for(int i=1; i<=len; i++) {if(str[i]=='(') x++;else if(str[i]==')') x--;else if(str[i]=='|') lor[x]=i;else if(str[i]=='&') lnd[x]=i;cor[i]=lor[x];cnd[i]=lnd[x];}int ans=dfs(1,len);printf("%d\n",ans);printf("%d %d\n",cnt_and,cnt_or);return 0;
}/*
in1:
0&(1|0)|(1|1|1&0)
out1:
1
1 2in2:
(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0
out2:
0
2 3
*/

【参考文献】
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P8815