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拟凸函数,拟凹函数,单峰函数

拟凸(quasi-convex)函数很早就听说过,但是标准定义一直不太了解,现在总结一下。

一个定义在凸集上的实数函数 fff 是拟凸函数:若对于其定义域内的任意两个点 xxxyyy,以及任意常数 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]λ[0,1],有
f(λx+(1−λ)y)≤max⁡{f(x),f(y)}f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \max\{f(x), f(y)\} f(λx+(1λ)y)max{f(x),f(y)}

几何意义是函数任意两点连线上的点,在该函数上的值小于这两点对应函数值的最大值。
在这里插入图片描述
上图就是一个拟凸函数。拟凹函数的定义为:
f(λx+(1−λ)y)≥min⁡{f(x),f(y)}f(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq \min\{f(x), f(y)\} f(λx+(1λ)y)min{f(x),f(y)}

正态分布的概率密度函数为一个拟凹函数,如下图所示:
在这里插入图片描述

当函数 fff 为单变量函数时,单峰函数(只有一个局部极小值或局部极大值的函数)要么是拟凸函数,要么是拟凹函数,而多变量函数时则不一定。

参考资料1


  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiconvex_function ↩︎

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