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[图论]哈尔滨工业大学(哈工大 HIT)学习笔记16-22

视频来源:2.7.1 补图_哔哩哔哩_bilibili

目录

1. 补图

1.1. 补图

2. 双图

2.1. 双图定理

3. 图兰定理/托兰定理

4. 极图理论

5. 欧拉图

5.1. 欧拉迹

5.2. 欧拉闭迹

5.3. 欧拉图

5.4. 欧拉定理

5.5. 伪图


1. 补图

1.1. 补图

(1)补图示例:其中G为母图,G'为其补图

(2)定义:设 G=\left ( V,E \right ) , 则 G 的补图 G{}'=\left ( V,E{}' \right ) , 其中 E{}'=\mathbb{P}_{2}\left ( V \right )\setminus E (所有顶点关联边二元集不包含E的子集)

(3)推论:G和它的补图G{}'有可能同构,即G\cong G{}'

(4)例题:六个人的团体中,或有三个人互相认识,或有三个人互相不认识。可用图和补图来做。

(5)拉姆齐定理:要找这样一个最小的数n,使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识

\begin{aligned} &R\left(1,k\right) =1 \\ &R\left(2,k\right) =k \\ &R\left(p,q\right) =R\left(q,p\right) \\ &R\left(p,q\right) \leq R\left(p-1,q\right)+R\left(p,q-1\right)\textit{ if }p,q\geq2 \\ &R\left(p,q\right) \leq\binom{p+q-2}{p-1} \end{aligned}

2. 双图

2.1. 双图定理

(1)只用一刀切开所有边就好了,看边的两边是否在不同子图中。

(2)定理1:双图也称2部图,其中圈的度数一定为偶数(充分必要条件)。

证明:圈可以表示成 v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{n},v_{1} ,若 v_{1}\in V ,则v_{2}\in V{}' 。因此单数顶点都属于 V, 偶数顶点都属于 V{}'

(2)定理2:有 G= \left ( V,E \right ) ,\exists v\in Vdeg\, v> 0\forall v\in Vdeg\, v为偶数,则图中一定有圈

3. 图兰定理/托兰定理

(1)定理:设 G= \left ( V,E \right ) 是一个\left ( p,q \right ) 图,如其中没有三角形,则 q\leq \left [ \frac{p^{2}}{4} \right ] 。其中中括号为求整符号

(2)证明:显然,对于p=1,2,3时结论都成立。则分别证明p为奇数(p=2n-1)和偶数(p=2n)的情况;

假设p=2n-1时成立,则需证p=2n+1时成立

设p=2n-1的图G’,p=2n+1的图为G,有G-u-v=G';(u和v为两个顶点,若u,v连接,则它们一定没有公共邻接点,否则构成三角形;若它们不邻接,则可能存在公共邻接点。视频中老师应该是使他们邻接的,这样可以使第一个顶点u的邻接边假设到最大)

知G'是一个(2n-1,q')图,知 q{}'\leq \left [\frac{\left ( 2n-1 \right )^{2}}{4} \right ]=n^{2}-n;

deg\, u=k,deg\, v\leq p-k (u和v邻接,且无公共邻接点的情况)

q\leq q{}'+p \Rightarrow q\leq q{}'+2n\Rightarrow q\leq n^{2}+n\Rightarrow q\leq\left [ \frac{\left ( 2n+1 ^{2}\right )}{4} \right ]

4. 极图理论

(1)找到边最多的图,但不含K_{n}

5. 欧拉图

5.1. 欧拉迹

(1)定义:包含图的每一条边的迹

5.2. 欧拉闭迹

(1)定义:包含图的所有顶点的闭迹

5.3. 欧拉图

(1)定义:包含欧拉闭迹的图称为欧拉图

5.4. 欧拉定理

(1)定理1:G是欧拉图⇔G连通且每个顶点度为偶数

(2)定理2:图中有一条欧拉开迹⇔G中恰有2个奇度顶点

(3)定理3:设G有2n个奇度顶点,则G至少有n条迹

5.5. 伪图

(1)多重图定义:两个顶点可以之间有多条边

(2)带环图定义:存在顶点到自身的边

(3)伪图:包含多重图和带环图

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