【考研数学】概率论与数理统计 —— 第七章 | 参数估计（1，基本概念及点估计法）

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引言

我们之前学了那么多分布，如正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，泊松分布 $P(\lambda )$ 等等，都是在已知 $\mu ,\sigma ,\lambda$ 的情况下。那这些值是怎么来的呢？参数估计便可以帮助我们回答这一问题。

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一、参数估计的概念

所谓参数估计，即总体 $X$ 的分布已知，但其中分布中含有未知参数 $\theta$（或多个参数），从总体 $X$ 中取简单随机样本 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ ，且 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 为样本观察值，利用样本对参数进行估计，称为参数估计。参数估计可分为点估计和区间估计。

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二、参数的点估计

设总体 $X$ 的分布已知，但其中分布中含有未知参数，从总体 $X$ 中取简单随机样本 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ ，且 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 为其观察值。若用统计量 $\hat{\theta }(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 估计参数 $\theta$ ，称其为参数 $\theta$ 的估计量（本质上是一个随机变量），将样本观察值代入，称 $\hat{\theta }(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 为参数 $\theta$ 的估计值（本质上是一个常数）。

常见的点估计法有矩估计法和最大似然估计法。

2.1 矩估计法

1. 矩估计的基本思想

设总体为 $X$，$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体的简单随机样本，称

${\mu }_k=E(X^k)(k=1,2,\cdots )$ 为总体 $X$ 的 $k$ 阶原点矩；

$A_k=\frac{1}{n}\sum X_i^k(k=1,2,\cdots )$ 为样本的 $k$ 阶原点矩，特别地，$A_1=\overline{X}$ ；

$B_k=\frac{1}{n}\sum (X_i-\overline{X}{)}^k(k=1,2,\cdots )$ 为样本的 $k$ 阶中心距。

矩估计法的依据就是大数定律，由独立同分布的大数定律，有 $A_k$ 依概率收敛于 ${\mu }_k(k=1,2,\cdots ).$

2. 矩估计法的基本步骤

$CaesI:$ 含有一个参数 $\theta$

第一步，求 $E(X)$ 或 $E(X^2)$ ；

第二步，令 $E(X)=\overline{X}$ 或 $E(X^2)=A_2$ ，解出 $\theta$ 的表达式，将观察值代入即得到估计值。

$CaseII:$ 含有两个参数 ${\theta }_1,{\theta }_2$

第一步，求 $E(X)$，$E(X^2)$ ；

第二步，令 $E(X)=\overline{X},E(X^2)=A_2,D(X)=B_2$ ，解出 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 的表达式，将观察值代入即得到估计值。

【例】设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体的简单随机样本。（1）设 $\mu =2$ ，求参数 ${\sigma }^2$ 的矩估计量；（2）设 $\mu$ 未知，求参数 ${\sigma }^2$ 的矩估计量。

解：（1）$E(X)=2,E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2={\sigma }^2+4$ 。令 ${\sigma }^2+4=A_2=\frac{1}{n}\sum X_i^2$ 得 $${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-4.$$ （2）$E(X)=\mu ,E(X^2)={\sigma }^2+{\mu }^2$ 。令 $E(X)=\overline{X},E(X^2)=A_2$ ，可计算得到矩估计量：$${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\overline{X}}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2.$$ 对于第二问结果的变换，我们可以把 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$ 拆开，写成 $$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i^2-2X_i\overline{X}+{\overline{X}}^2)=\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-2\overline{X}\sum _{i=1}^n{X}_i+n{\overline{X}}^2)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\overline{X}}^2.$$

2.2 最大似然估计法

设总体为 $X$，$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体的简单随机样本，$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 为其观察值。样本 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 取 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 的概率成为似然函数，记为 $L(\theta )$ 或 $L({\theta }_1,{\theta }_2)$ 。

$CaseI:$ 总体 $X$ 为离散型（分布律已知，但未知参数）

第一步：似然函数
L = P { X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ⋯ , X n = x n } = P { X 1 = x 1 } P { X 2 = x 2 } ⋯ P { X n = x n } = P { X = x 1 } P { X = x 2 } ⋯ P { X = x n } L=P\{X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\}=P\{X_1=x_1\}P\{X_2=x_2\}\cdots P\{X_n=x_n\}=P\{X=x_1\}P\{X=x_2\}\cdots P\{X=x_n\} L=P{X1​=x1​,X2​=x2​,⋯,Xn​=xn​}=P{X1​=x1​}P{X2​=x2​}⋯P{Xn​=xn​}=P{X=x1​}P{X=x2​}⋯P{X=xn​} ；

第二步：对似然函数 $L$ 两边取对数 $\ln L$ ；

第三步： (1) 若 $\ln L$ 只含有一个参数 $\theta$ ，令 $d(\ln L)/d\theta =0$ ，解出驻点 $\hat{\theta }=\hat{\theta }(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$（估计值），从而可以得到最大似然估计量 $\hat{\theta }=\hat{\theta }(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ ；

（2）若 $\ln L$ 含有两个参数 ${\theta }_1,{\theta }_2$ ，令 $\partial \ln L/\partial {\theta }_1=0,\partial \ln L/\partial {\theta }_2=0$ ，解出驻点即可得到估计值。

$CaseII:$ 总体 $X$ 为连续型（概率密度 $f(x)$ 已知，但含有未知参数）

第一步：似然函数 $$L=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n);$$ 其余步骤同上。

【例】设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体的简单随机样本。设 $\mu =2$ ，求参数 ${\sigma }^2$ 的矩估计量。

解： 似然函数为 $$L=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{)}^n\cdot ({\sigma }^2{)}^{-\frac{n}{2}}EXP\{-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-2{)}^2\}.$$ $$\ln L=n\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\right)-\frac{n}{2}\ln {\sigma }^2-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-2{)}^2.$$ 令 $$\frac{d\ln L}{d({\sigma }^2)}=-\frac{n}{2}\frac{1}{{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-2{)}^2=0$$ 可解得 ${\sigma }^2$ 的最大似然估计量为：$${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-2{)}^2.$$

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写在最后

以上便是用点估计法对总体分布的参数进行近似的方法，既然只是估计，那肯定会有误差，到底我们这样估计好不好呢，下一篇文章我们来学习参数估计量的评价标准。