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目录

🌼图的存储

（1）邻接矩阵

（2）边集数组

（3）邻接表

（4）链式前向星

😀刷题

🐍最大节点

🐍有向图 D 和 E

🐍奶牛排序

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🌼图的存储

（1）邻接矩阵

adjacency matrix（邻接矩阵）

#define MaxVnum 100 // 节点数最大值
typedef char VexType; // 节点的数据类型, 根据需要定义
typedef int EdgeType; // 边上权值的数据类型; 不带权的图, 为0 / 1

结构体 

typedef struct {VexType Vex[MaxVnum]; // 节点类型 + 一维数组存储节点EdgeType Edge[MaxVnum][MaxVnum]; // 边上权值类型 + 邻接矩阵存储边int vexnum, edgenum; // 节点数, 边数
} AMGraph;

算法

void CreateAMGraph(AMGraph &G) { // 引用传递, 直接修改对象本身// AMGraph 包含一维节点数组, 二维邻接矩阵数组, 节点数, 边数int i, j;VexType u, v; // 节点类型cin >> G.vexnum;cin >> G.edgenum;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) cin >> G.Vex[i]; // 输入节点for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) G.Edge[i][j] = 0; // 初始化邻接矩阵所有值为 0while(G.edgenum--) {cin >> u >> v; // 'a' 'b' ...i = locatevex(G, u); // 查找节点 u 对应下标j = locatevex(G, v); // 查找节点 v 对应下标if(i != -1 && j != -1)G.Edge[i][j] = G.Edge[j][i] = 1; // 无向图两点连通}
}

优点

（1）快速判断两点间，是否有边（Edge[i][j] == 1 有边）

（2）快速计算各节点的度

（无向图，邻接矩阵，第 i 行元素之和，就是节点 i 的 度）

（有向图，邻接矩阵，第 i 行的和为 出度，第 i 列的和为 入度）

缺点

（1）不利于增删节点（需要改变邻接矩阵大小，效率低）

（2）不利于访问邻接点

访问第 i 个点所有邻接点时，需要遍历第 i 行，时间复杂度 O(n) 

访问所有点邻接点，时间复杂度 O(n^2) 

（3）空间复杂度高，O(n^2)

初始可以这样定义👇（省去节点信息的查询步骤）

int M[m][n] = { {0,1,0,1}, {1,0,1,1}, {0,1,0,1}, {1,1,1,0} };

直接定义一个邻接矩阵

（2）边集数组

数组存储每条边的起点和终点，以下是网的结构体定义（增加了一个权值域）

适用于 最小生成树 kruskal算法 

struct Edge {int u;in v;int w;
} e[N*N];

（3）邻接表

邻接表，包括节点和邻接点

节点

typedef struct VexNode { // 定义节点类型    VexType data; // VexType为节点信息的数据类型, 根据需要定义AdjNode *first; // 指向第1个邻接点
}VexNode;

邻接点

typedef struct AdjNode { // 定义邻接点类型int v; // 下标vstruct AdjNode *next; // 指向下一个邻接点
}AdjNode;

邻接表结构体

typedef struct {VexNode Vex[MaxVnum]; // 节点表int vexnum, edgenum; // 节点数, 边数
} ALGraph;

算法代码

void CreateALGraph(ALGraph &G) { // 创建有向图的邻接表VexType u, v; // 节点类型cout << "请输入节点数和边数：" << endl;cin >> G.vexnum >> G.edgenum;cout << "请输入节点信息：" << endl;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) // 节点数 vexnumcin >> G.Vex[i].data;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) G.Vex[i].first = NULL; // 下一个邻接点置空cout << "请依次输入每条边的两个节点 u, v" << endl;while (G.edgenum--) {cin >> u >> v;int i = locatevex(G, u); // 查找节点 u 的下标int j = locatevex(G, v); // 查找节点 v 的下标if (i != -1 && j != -1)insertedge(G, i, j); // 插入边// 无向图多插入 1 次}
}

插入代码

void insertedge(ALGraph &G, int i, int j) // 头插法(插入一条边)
{AdjNode *s; // 新的邻接点s = new AdjNode; // 开辟内存// i 和 j相连, 所以是向 j 出边s->v = j; // 邻接点下标s->next = G.Vex[i].first; // 新的邻接点的下一个, 是原来节点 i 的下一个G.Vex[i].first = s; // 原来节点 i 的下一个, 变成邻接点
}

邻接表优点

（1）便于增删节点

（2）便于访问所有邻接点（ 时间复杂度O(n + e) ）

（3）空间复杂度低（ 节点表 n 个空间 ，无向图邻接点表 n + 2e 空间，有向图临界点表 n + e 空间，所以空间复杂度O(n + e) ），而邻接矩阵空间复杂度 O(n^2)

存储图，稀疏图 -> 邻接表，稠密图 -> 邻接矩阵

缺点

（1）不利于判断两节点是否有边（需要遍历该节点后，整条链表）

（2）不利于计算各节点的度

无向图为该节点后单链表节点数

有向图(邻接表)的出度为 单链表节点数，但不易求入度

有向图(逆邻接表)的入度为 单链表节点数，但不易求出度

总体上，邻接表，访问同一节点所有关联边时，仅需访问该点后单链表，这是一大优势 

（4）链式前向星

链式前向星——最完美图解-腾讯云开发者社区-腾讯云 (tencent.com)

（👆算法训练营原文） 

链式前向星--最通俗易懂的讲解-CSDN博客

链式前向星，即静态链表，边集数组 + 邻接表

可快速访问一个节点的所有邻接点

（1）边集数组：edge[i]，第 i 条边

（2）头节点数组：head[k]，存储以 顶点 k 为起点的第 1 条边的下标（edge[i] 中的 i，即第几条边）

结构体 

struct node {int to, next, w;}edge[maxe]; // 边集数组, 对边数的设置要比 maxn*maxn大int head[maxn]; // 头节点数组

next

与edge[cnt]（第 cnt 条边）起点相同的上一条边的编号（之所以是上一条，不是下一条，因为邻接表采取头插法 -- 逆序） 

添加边 u，v，w

void add(int u, int v, int w) 
{// 第 cnt 条边edge[cnt].to = v; // 终点edge[cnt].w = w; // 权值edge[cnt].next = head[u]; // -1时没有上一条边head[u] = cnt++; // 先赋值, 后自增// 起点 u 为顶点的, 第一条边是 cnt, 然后 cnt++, 进入下一条边
}

有向图：一次 add(u, v, w)

无向图：两次 add(u, v, w) 和 add(v, u, w)

访问一个节点 u 所有邻接点

当 edge[i].next != -1，说明还有邻接点 

for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{int v = edge[i].to; // 顶点 u 的邻接点int w = edge[i].w; // u-v 这条边的权值
}

特点

（1）类似邻接表，头插法（倒序）进行链接 --> 边的输入顺序不同，创建的链式前向星也不同

（2）无向图的话，每输入一条边，需要添加 2 条边，又因为边从 0 开始，比如 edge[0]和edge[1]，edge[2]和edge[3]，4和5等等（即 0000和0001，0010和0011，0100和0101），此时，两条反向边，可以互相异或 1 得到另一条边，i 和 i^1

这个特性在网络流中较为常用（异或运算，不需要额外的存储 / 操作，节省空间和时间）

（3）整合了边集数组和邻接表，属于静态链表，不需要频繁创建节点

😀刷题

🐍最大节点

P3916 图的遍历 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路 

本题，求，从节点 v 出发，能到达的最大节点 u

建立原图的反向图，即 add(u, v) 变成 add(v, u)

然后从节点 n 开始递归，一直到节点 1

对于当前最大节点 u，凡是能到达的节点 v，v能到达的最大节点就是 u

解释 

结合图理解👇

节点 1 的第 1 条边是 edge[0]，边的编号为 0，0号边即 节点1 到 节点2，距离（权值）为 5 的这条边，这条边的终点是 2（to），权值是 5（w），没有上一条边（next == -1）

if (ans[v]) return;

两种可能的解释👆

（1）已经得到最远的点，避免后续多余的计算

（2）已经计算过的点，因为是反向的，此时再计算，可能会把无法到达的点算进去，导致结果错误

AC  代码

#include<iostream>
#include<cstdio> // scanf()
#include<cstring> // memset()
using namespace std;const int MAX = 100010;
int n, m, cnt = 0, head[MAX], ans[MAX];struct node
{int to, next;
}e[MAX];// 添加 u 到 v 的边
void add(int u, int v)
{e[cnt].to = v; // 终点e[cnt].next = head[u]; // 节点 u 的第一条边, 就是它的上一条边head[u] = cnt++; // 先赋值, 再自增
}// 递归遍历所有邻接边
// 注意是倒序反向遍历, 所以 u 是最远可到达的点
void dfs(int u, int v)
{if (ans[v]) return; // 已经得到最远点ans[v] = u; // 最远的点// 递归遍历所有邻接边for (int i = head[v]; i != -1; i = e[i].next) { // head[v] 节点 v 的第1条边int v1 = e[i].to; // 邻接点dfs(u, v1); // 最大节点 u 所能到达的点 v1}
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);// 初始化 头节点 数组memset(head, -1, sizeof(head));// 添加反向边int u, v;while(m--) {scanf("%d%d", &u, &v);add(v, u);}// 倒序 dfs 递归for (int i = n; i >= 1; --i)dfs(i, i);// 输出for (int i = 1; i <= n; ++i)cout << ans[i] << " ";return 0;
}

🐍有向图 D 和 E

From D to E and Back - UVA 11175 - Virtual Judge (vjudge.net)

思路 

把 D 的边缩成点，D 的边对应 E 的点

如果D存在边 i (u, v)，j (v, w)，那么 E 存在点 i, j，以及一条 i 到 j 的边

因为 D 和 E，都是有向图（关键）

所以， 若 D 中，边 i, j 有公共端点，那么 i 连接的边，j 一定也连接

换言之，E 中，点 i, j 有公共连接点 k，那么，此时如果 i 有邻接点 k2，j 必定也邻接 k2（因为 E 是有向图）

即，E中，点 i 和 点 k1 有边，点 j 和 k2 也有边，此时若点 i 和 k2 有边，j 必定也和 k2 有边

解释

第一个

宏定义

第二个

REP(i,b,e)

REP后要紧跟着 (i,b,e)，不要加个空格，否则报错：i was not defined in this scope

第三个

flag1, flag2 的声明，应该放在 i, j 两重循环内，而不是放在 check() 里

因为 return false，是针对相同的 i, j 去遍历每一个 k 的

第四个

每组测试，读入的是 m，边数

第五个

注意Yes，No之前有空格，直接复制题目会错

第六个

为什么用邻接矩阵存储呢，需要不断判断两个两个节点之间是否有边

AC  代码

远程 OJ 崩了，样例过了，就当过了吧

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,b,e) for(int i=(b); i<(e); ++i)
using namespace std;const int N = 310;
int g[N][N], n, m; // g 邻接矩阵bool check()
{REP(i, 0, n) // 0~n-1REP(j, 0, n) { //0~n-1int flag1 = 0, flag2 = 0;REP(k, 0, n) { // 0~n-1if (g[i][k] && g[j][k]) flag1 = 1; // 共同邻接点if (g[i][k] ^ g[j][k]) flag2 = 1; // 一方有, 一方没有}if (flag1 && flag2) return false;}return true;
}int main()
{int T, cnt = 1;cin >> T;int x, y;while (T--) {memset(g, 0, sizeof(g)); // 初始化邻接矩阵cin >> n >> m;REP(i, 0, m) { // 读取 m 条边cin >> x >> y;g[x][y] = 1;}if (check())printf("Case #%d: Yes\n", cnt++);elseprintf("Case #%d: No\n", cnt++);}return 0;
}

🐍奶牛排序

Ranking the Cows - POJ 3275 - Virtual Judge (vjudge.net)

思路 

样例 

奶牛理解为有向图的节点，关系理解为边

对于 n 个节点的图，两两之间的关系有， 1 + ... + n-1 种，即 n(n-1) / 2

样例中 5 个节点，就有 10 种关系

然后根据给出的 5 条边，又能间接得到另外的 2 条边

所以10 - （5 + 3）= 3

还需要知道 3 种关系

位运算 

那么，如何得到已知的关系是 7 种呢

每个节点用一个 bitset 表示👇目录中 2.4.7 bitset

STL入门 + 刷题（下）_千帐灯无此声的博客-CSDN博客

bitset<maxn>p[maxn]; // maxn表示位数, p[] 二进制数组

初始化：p[i][i] = 1，表示自身可达（即自己和自己有关系）

输入 

输入 2 1  （其他输入同理）

即 2 -> 1 的有向边，2 可达 1，那么 p[2][1] = 1，p[2] = 000110👇

右边第 0 位开始，第 2 位为 1，表示自身可达，第 1 位为 1，即节点 2 可达 节点 1

根据已知点找其他

if (p[i][k])p[i] |= p[k];// 等价于if (p[i][k])p[i] = p[i] | p[k];

按位或：同时为 0 才为 0

可以间接找到每个点与其他点的关系👇

（比如节点 a 可达节点 b，b 可达 c，那么间接得到 a 也可达 c）

计算结果

两两间，总的关系数：n(n-1) / 2

用 ans 累计每个 bitset 数组 p[i] 中 1 的个数

由于 ans 中包括 n 种自己到自己的关系

所以已知关系为 ans - n

输出答案为 总数 - 已知数 =

n(n-1) / 2 - ans + n

解释

看懂代码后，有个疑问，如果最后还差 5 个关系，是否存在，只需要再调查 2 个关系，就能间接得到剩下 3 个关系的可能呢（可能是出题者结果导向，或者我的理解有偏差）

👆如果按这个意思，那么题目会复杂很多👆

坑

编号从 1 开始，所以如果你所有 for 循环都是 0 ~ n-1，就会 Wrong Answer

AC  代码

#include<iostream> // 编号 1 开始
#include<bitset>
using namespace std;const int N = 1010;
// N 表示长度为 N 的位集合
bitset<N> p[N]; // 数组 p 的每个元素都是 bitset<N> 类型, 即一个二进制数int main()
{int n, m, x, y, ans = 0;cin >> n >> m;// 初始化 bitset 数组for (int i = 1; i <= n; ++i)p[i][i] = 1; // 自己和自己有联系while (m--) {cin >> x >> y;p[x][y] = 1; // 节点 x 可达 y}// 间接求其他关系for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 1; j <= n; ++j) if (p[j][i])p[j] = p[j] | p[i];// 输出for (int i = 1; i <= n; ++i)ans += p[i].count(); // 统计每个 bitset 中 1 的个数cout << n*(n-1)/2 - ans + n << endl;return 0;
}

除了常规意义的 邻接矩阵，边集数组，邻接表，链式前向星（存储图）外

我们还可以考虑 bitset，用二进制来存图