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Hermite矩阵

Hermite矩阵

文章目录

  • Hermite矩阵
    • 一、正规矩阵
          • 【定义】A^H^矩阵
          • 【定理】 A^H^的运算性质
          • 【定义】正规矩阵、特殊的正规矩阵
          • 【定理】与正规矩阵酉相似的矩阵也是正规矩阵
          • 【定理】正规的上(下)三角矩阵必为对角矩阵
          • 【定义】复向量的内积
          • 【定理】Schmitt正交化
    • 二、酉矩阵(unitary)
          • 【定理】酉矩阵的判定
          • 【定理】数值矩阵与酉矩阵性质的类比
          • 【定理】酉矩阵的所有特征值模都等于1,并且属于不同特征值的特征向量正交
          • 【定理】Schur定理
          • 【定理】A酉相似于对角矩阵,则A为正规矩阵
    • 三、Hermite矩阵
          • 【定理】Hermite矩阵的特征值必为实数,并且属于不同特征值的特征向量正交
          • 【定理】反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数,并且属于不同特征值的特征向量正交
          • 【定理】Hermite/反Hermite矩阵当且仅当的判断
    • 四、Hermite二次型
          • 【定义】Hermite二次型
          • 【定义】复相合
          • 【定理】每个二次型都可酉变换为标准型
          • 【定理】Hermite二次型经过适当可逆线性替换可化为规范型
          • 【定理】Hermite二次型的规范型唯一
    • 五、正定Hermite矩阵
          • 【定义】Hermite二次型的正定、负定、半正定、半负定、不定
          • 【定理】正定、负定、半正定、半负定、不定 与 正负惯性指数 的关系
          • 【定义】Hermite矩阵的正定、负定、半正定、半负定、不定
          • 【定理】正定的当且仅当条件

将线性代数中的实矩阵扩展为复矩阵

一、正规矩阵

【定义】AH矩阵

对复矩阵 A A A
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & \\ \vdots & \vdots && \vdots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & \\ \end{bmatrix} A= a11a21an1a12a22an2a1na2nann

A H A^H AH 矩阵为
A H = A T ‾ = A ‾ T = [ a 11 ‾ a 12 ‾ ⋯ a 1 n ‾ a 21 ‾ a 22 ‾ ⋯ a 2 n ‾ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ‾ a n 2 ‾ ⋯ a n n ‾ ] A^H=\overline{A^T}=\overline{A}^T= \begin{bmatrix} \overline{a_{11}} & \overline{a_{12}} & \cdots & \overline{a_{1n}} & \\ \overline{a_{21}} & \overline{a_{22}} & \cdots & \overline{a_{2n}} & \\ \vdots & \vdots && \vdots & \\ \overline{a_{n1}} & \overline{a_{n2}} & \cdots & \overline{a_{nn}} & \\ \end{bmatrix} AH=AT=AT= a11a21an1a12a22an2a1na2nann

【定理】 AH的运算性质

A H A^H AH 的定义可知:

  • ( A H ) H = A (A^H)^H=A (AH)H=A
  • ( A + B ) H = A H + B H (A+B)^H=A^H+B^H (A+B)H=AH+BH
  • ( A B ) H = B H A H (AB)^H=B^HA^H (AB)H=BHAH
  • ( k A ) H = k ‾ A H , k ∈ C (kA)^H=\overline{k}A^H,k\in\mathbb C (kA)H=kAH,kC
  • ( A H ) H = A (A^H)^H=A (AH)H=A
【定义】正规矩阵、特殊的正规矩阵

正规矩阵是满足 A H A = A A H A^HA=AA^H AHA=AAH 的矩阵,有:

  • 酉矩阵: A H A = A A H = E A^HA=AA^H=E AHA=AAH=E (参考正交矩阵 A T A = A A T = E A^TA=AA^T=E ATA=AAT=E) 是正规矩阵
  • Hermite矩阵: A H = A A^H=A AH=A (参考对阵矩阵 A H = A A^H=A AH=A)是正规矩阵
  • 反Hermite矩阵: A H = − A A^H=-A AH=A (参考反对称矩阵/反称矩阵 A T = − A A^T=-A AT=A)是正规矩阵
  • 对角矩阵是正规矩阵
【定理】与正规矩阵酉相似的矩阵也是正规矩阵
【定理】正规的上(下)三角矩阵必为对角矩阵
【定义】复向量的内积

< α j , α i > = α i H α j <\alpha_j,\alpha_i>=\alpha^H_i\alpha_j <αj,αi>=αiHαj

比如 复向量 γ 1 = [ 1 − i , 1 , 2 ] T , γ 2 = [ 1 , − 1 , i ] T \gamma_1=[1-i,1,2]^T,\gamma_2=[1,-1,i]^T γ1=[1i,1,2]T,γ2=[1,1,i]T,求其内积

  • < γ 1 , γ 2 > = γ 2 H γ 1 = ( 1 , − 1 , − i ) [ 1 − i , 1 , 2 ] T = − 3 i <\gamma_1,\gamma_2>=\gamma_2^H\gamma_1=(1,-1,-i)[1-i,1,2]^T=-3i <γ1,γ2>=γ2Hγ1=(1,1,i)[1i,1,2]T=3i
  • < γ 2 , γ 1 > = γ 1 H γ 2 = ( 1 + i , 1 , 2 ) [ 1 , − 1 , i ] T = 3 i <\gamma_2,\gamma_1>=\gamma_1^H\gamma_2=(1+i,1,2)[1,-1,i]^T=3i <γ2,γ1>=γ1Hγ2=(1+i,1,2)[1,1,i]T=3i
【定理】Schmitt正交化

注意:下面的内积是复向量内积

α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn(线性无关) ⟶ \longrightarrow β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,,βn(正交) ⟶ \longrightarrow η 1 , η 2 , ⋯ , η n \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n η1,η2,,ηn(标准正交)
β 1 = α 1 \beta_1=\alpha_1 β1=α1

β 2 = α 2 − < α 2 , β 1 > < β 1 , β 1 > β 1 \beta_2=\alpha_2-\frac{<\alpha_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 β2=α2<β1,β1><α2,β1>β1

β 3 = α 3 − < α 3 , β 2 > < β 2 , β 2 > β 2 − < α 3 , β 1 > < β 1 , β 1 > β 1 \beta_3=\alpha_3-\frac{<\alpha_3,\beta_2>}{<\beta_2,\beta_2>}\beta_2-\frac{<\alpha_3,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 β3=α3<β2,β2><α3,β2>β2<β1,β1><α3,β1>β1

二、酉矩阵(unitary)

酉矩阵是正交矩阵的推广

【定理】酉矩阵的判定

矩阵 A A A 为酉矩阵当且仅当下列条件之一被满足:

  • A H A = A A H = E A^HA=AA^H=E AHA=AAH=E
  • A − 1 = A H A^{-1}=A^H A1=AH
【定理】数值矩阵与酉矩阵性质的类比

数值矩阵的很多性质都可以在酉矩阵得到对应

  1. 正交
  • 正交矩阵 A T A = A A T = E A^TA=AA^T=E ATA=AAT=E ⇔ \Leftrightarrow A = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n] A=[α1,α2,,αn] 是标准正交向量组(不一定非得是基)

  • 酉矩阵 A H A = A A H = E A^HA=AA^H=E AHA=AAH=E ⇔ \Leftrightarrow A = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n] A=[α1,α2,,αn] 是标准正交向量组

  1. 相似
  • 相似: P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B,其中 P P P 可逆;正交相似: Q − 1 A Q = Q T A Q = B Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=B Q1AQ=QTAQ=B,其中 Q Q Q 正交
  • 酉相似: U H A U = U − 1 A U = B U^HAU=U^{-1}AU=B UHAU=U1AU=B,其中 U U U 是酉矩阵
【定理】酉矩阵的所有特征值模都等于1,并且属于不同特征值的特征向量正交

这是因为在产生酉矩阵的过程中,所有的向量都进行了Schmitt正交化

【定理】Schur定理

A ∈ C n × n A\in\mathbb C^{n\times n} ACn×n

则存在n阶酉矩阵 U U U,使得 T = U H A U T=U^HAU T=UHAU 为上三角矩阵,其主对角元为 A A A 的全部特征值

【定理】A酉相似于对角矩阵,则A为正规矩阵

A ∈ C n × n A\in\mathbb C^{n\times n} ACn×n

A A A 为正规矩阵当且仅当 A A A 酉相似于对角矩阵 d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) diag(λ1,λ2,,λn),其中 ∣ λ i ∣ = 1 |\lambda_i|=1 λi=1

三、Hermite矩阵

【定理】Hermite矩阵的特征值必为实数,并且属于不同特征值的特征向量正交
【定理】反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数,并且属于不同特征值的特征向量正交
【定理】Hermite/反Hermite矩阵当且仅当的判断

A ∈ C n × n A\in\mathbb C^{n\times n} ACn×n,则 A A A 为Hermite矩阵

当且仅当 A A A 酉相似于对角矩阵 d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) diag(λ1,λ2,,λn),其中 λ i \lambda_i λi 均为实数,它们为 A A A 的全部特征值


A ∈ C n × n A\in\mathbb C^{n\times n} ACn×n,则 A A A 为反Hermite矩阵

当且仅当 A A A 酉相似于对角矩阵 d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) diag(λ1,λ2,,λn),其中 λ i \lambda_i λi 的实部均为0,它们为 A A A 的全部特征值

求酉相似对角化的酉矩阵的方法(类似本科线性代数):
U − 1 A U = Λ = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] U^{-1}AU=\Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ && \ddots \\ &&& \lambda_n \end{bmatrix} U1AU=Λ= λ1λ2λn
两边同时左乘 U U U
A U = U A AU=UA AU=UA
按列分块得到
A [ η 1 , η 2 , ⋯ , η n ] = [ η 1 , η 2 , ⋯ , η n ] [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] A[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n] \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ && \ddots \\ &&& \lambda_n \end{bmatrix} A[η1,η2,,ηn]=[η1,η2,,ηn] λ1λ2λn
A A A λ i \lambda_i λi 乘进去,得到:
A η i = λ i η i A\eta_i=\lambda_i\eta_i Aηi=λiηi

四、Hermite二次型

将线性代数的实二次型扩展到复二次型

【定义】Hermite二次型

复二次型的表达式:
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ ∑ a i j x i ‾ x j f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\sum a_{ij} \overline{x_i}x_j f(x1,x2,,xn)=∑∑aijxixj
其中 a i j = a j i ‾ a_{ij}=\overline{a_{ji}} aij=aji

因为
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} A= a11a21an1a12a22an2a1na2nann
具有性质 A H = A A^H=A AH=A,故 A A A 为 Hermite 矩阵(即为 Hermite 二次型),可以写为 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = x H A x f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^HAx f(x1,x2,,xn)=xHAx

二次型的核心问题是怎么把二次型标准化(在一定的可逆变换下,消除掉所有的交叉项)

【定义】复相合

A , B ∈ C n × n A,B\in\mathbb C^{n\times n} A,BCn×n,如果存在 n 阶可逆矩阵 Q Q Q,使得 Q H A Q = B Q^HAQ=B QHAQ=B,则称 A A A B B B 复相合

【定理】每个二次型都可酉变换为标准型

任意 Hermite 二次型经过某个酉变换 x = U y x=Uy x=Uy U H = U − 1 U^H=U^{-1} UH=U1,可以化为标准型 λ 1 y 1 ‾ y 1 + λ 2 y 2 ‾ y 2 + ⋯ + λ n y 2 ‾ y n \lambda_1\overline{y_1}y_1+\lambda_2\overline{y_2}y_2+\cdots+\lambda_n\overline{y_2}y_n λ1y1y1+λ2y2y2++λny2yn,这里 λ i \lambda_i λi A A A 的全部特征值

【定理】Hermite二次型经过适当可逆线性替换可化为规范型

Hermite二次型经过适当的可逆线性替换 x = Q z x=Qz x=Qz,这里 Q ∈ C n × n Q\in\mathbb C^{n\times n} QCn×n 为可逆矩阵,可以华为规范型:
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = z 1 ‾ z 1 + ⋯ + z p ‾ z p − z p + 1 ‾ z p + 1 − ⋯ z r ‾ z r f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\overline{z_1}z_1+\cdots+\overline{z_p}z_p-\overline{z_{p+1}}z_{p+1}-\cdots\overline{z_r}z_r f(x1,x2,,xn)=z1z1++zpzpzp+1zp+1zrzr
这里 r r r 为二次型 f f f 的秩

【定理】Hermite二次型的规范型唯一

五、正定Hermite矩阵

【定义】Hermite二次型的正定、负定、半正定、半负定、不定
  • 正定:如果 ∀ x ≠ 0 \forall x\neq0 x=0 x H A x > 0 x^HAx>0 xHAx>0 x H A x = 0 x^HAx=0 xHAx=0 当且仅当 x = 0 x=0 x=0,则称二次型 f f f 为正定的
  • 负定:如果 ∀ x ≠ 0 \forall x\neq0 x=0 x H A x < 0 x^HAx<0 xHAx<0 x H A x = 0 x^HAx=0 xHAx=0 当且仅当 x = 0 x=0 x=0,则称二次型 f f f 为负定的
  • 半正定:如果 ∀ x ≠ 0 \forall x\neq0 x=0 x H A x ≥ 0 x^HAx\geq0 xHAx0 ∃ x ≠ 0 \exist x\neq0 x=0,使得 x H A x = 0 x^HAx=0 xHAx=0,则称二次型 f f f 为半正定的
  • 半负定:如果 ∀ x ≠ 0 \forall x\neq0 x=0 x H A x ≤ 0 x^HAx\leq0 xHAx0 ∃ x ≠ 0 \exist x\neq0 x=0,使得 x H A x = 0 x^HAx=0 xHAx=0,则称二次型 f f f 为半负定的
  • 不定:如果 ∃ x 1 ≠ 0 \exist x_1\neq0 x1=0,使得 x H A x > 0 x^HAx>0 xHAx>0,又 ∃ x 2 ≠ 0 \exist x_2\neq0 x2=0,使得 x H A x < 0 x^HAx<0 xHAx<0,则称二次型 f f f 为不定的
【定理】正定、负定、半正定、半负定、不定 与 正负惯性指数 的关系

p p p 是正惯性指数, n n n 是负惯性指数, r r r 是二次型的秩

  • 正定 ⟺ \Longleftrightarrow p = r = n p=r=n p=r=n
  • 负定 ⟺ \Longleftrightarrow p = 0 , r = n p=0,r=n p=0r=n
  • 半正定 ⟺ \Longleftrightarrow p = r < n p=r<n p=r<n
  • 半负定 ⟺ \Longleftrightarrow p = 0 , r < n p=0,r<n p=0r<n
  • 不定 ⟺ \Longleftrightarrow 0 < p < r ≤ n 0<p<r\leq n 0<p<rn
【定义】Hermite矩阵的正定、负定、半正定、半负定、不定

如果 Hermite 矩阵对应的二次型是正定、负定、半正定、半负定、不定的,则该Hermite矩阵是正定、负定、半正定、半负定、不定的

【定理】正定的当且仅当条件

A A A 为 n 阶矩阵,则 A A A 为正定的当且仅当下列条件之一:

  • A A A 的所有特征值全部大于0
  • 存在可逆矩阵 P ∈ C n × n P\in \mathbb C^{n\times n} PCn×n,使得 P H A P = E P^HAP=E PHAP=E
  • 存在可逆矩阵 Q ∈ C n × n Q\in \mathbb C^{n\times n} QCn×n,使得 A = Q H Q A=Q^HQ A=QHQ
  • A A A 的各级顺序主子式全大于0

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文章目录 目录 文章目录 前言 1.项目远程仓库配置 2.pom文件引入相关依赖 3.代码破解 二、Excel转PDF 1.代码实现 2.Aspose.License.xml 授权文件 总结 前言 java处理excel转pdf一直没找到什么好用的免费jar包工具,自己手写的难度,恐怕高级程序员花费一年的事件,也…...

工程地质软件市场:发展现状、趋势与策略建议

一、引言 在工程建设领域&#xff0c;准确把握地质条件是确保项目顺利推进和安全运营的关键。工程地质软件作为处理、分析、模拟和展示工程地质数据的重要工具&#xff0c;正发挥着日益重要的作用。它凭借强大的数据处理能力、三维建模功能、空间分析工具和可视化展示手段&…...

将对透视变换后的图像使用Otsu进行阈值化,来分离黑色和白色像素。这句话中的Otsu是什么意思?

Otsu 是一种自动阈值化方法&#xff0c;用于将图像分割为前景和背景。它通过最小化图像的类内方差或等价地最大化类间方差来选择最佳阈值。这种方法特别适用于图像的二值化处理&#xff0c;能够自动确定一个阈值&#xff0c;将图像中的像素分为黑色和白色两类。 Otsu 方法的原…...

Robots.txt 文件

什么是robots.txt&#xff1f; robots.txt 是一个位于网站根目录下的文本文件&#xff08;如&#xff1a;https://example.com/robots.txt&#xff09;&#xff0c;它用于指导网络爬虫&#xff08;如搜索引擎的蜘蛛程序&#xff09;如何抓取该网站的内容。这个文件遵循 Robots…...

【RockeMQ】第2节|RocketMQ快速实战以及核⼼概念详解(二)

升级Dledger高可用集群 一、主从架构的不足与Dledger的定位 主从架构缺陷 数据备份依赖Slave节点&#xff0c;但无自动故障转移能力&#xff0c;Master宕机后需人工切换&#xff0c;期间消息可能无法读取。Slave仅存储数据&#xff0c;无法主动升级为Master响应请求&#xff…...

Spring AI Chat Memory 实战指南:Local 与 JDBC 存储集成

一个面向 Java 开发者的 Sring-Ai 示例工程项目&#xff0c;该项目是一个 Spring AI 快速入门的样例工程项目&#xff0c;旨在通过一些小的案例展示 Spring AI 框架的核心功能和使用方法。 项目采用模块化设计&#xff0c;每个模块都专注于特定的功能领域&#xff0c;便于学习和…...

DBLP数据库是什么?

DBLP&#xff08;Digital Bibliography & Library Project&#xff09;Computer Science Bibliography是全球著名的计算机科学出版物的开放书目数据库。DBLP所收录的期刊和会议论文质量较高&#xff0c;数据库文献更新速度很快&#xff0c;很好地反映了国际计算机科学学术研…...