算法(3)——二分查找
一、什么是二分查找
二分查找也称折半查找,是在一组有序(升序/降序)的数据中查找一个元素,它是一种效率较高的查找方法。
二、二分查找的原理
1、查找的目标数据元素必须是有序的。没有顺序的数据,二分法就失去意义。
2、数据元素通常是数值型,可以比较大小。
3、将目标元素和查找范围的中间值做比较(如果目标元素=中间值,查找结束),将目标元素分到较大/或者较小的一组。
4、通过分组,可以将查找范围缩小一半。
5、重复第三步,直到目标元素=新的范围的中间值,查找结束。
三、二分查找模板
1、朴素二分查找模板
2、一般二分查找模板
四、二分查找经典OJ题
4、1 二分查找
704. 二分查找 - 力扣(LeetCode)
1、题目描述
2、算法思路
a. 定义 left , right 指针,分别指向数组的左右区间。b. 找到待查找区间的中间点 mid ,找到之后分三种情况讨论:i. arr[mid] == target 说明正好找到,返回 mid 的值ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的,因此舍去右边区间,在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找,即让 right = mid - 1 ,然后重复 2 过程;
iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的,因此舍去左边区间,在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找,即让 left = mid + 1 ,然后重复 2 过程;c. 当 left 与 right 错开时,说明整个区间都没有这个数,返回 -1 。
3、算法代码
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>target){right=mid-1;}else if(nums[mid]<target){left=mid+1;}else{return mid;}}return -1;}
};
4、2 在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣(LeetCode)
1、题目描述:
2、算法思路:
寻找左边界:◦ 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点:▪ 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的;▪ 右边区间(包括左边界) [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的;• 因此,关于 mid 的落点,我们可以分为下⾯两种情况:◦ 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候,也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的,此时更新 left 到 mid + 1 的位置, 继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界;◦ 当 mid 落在 [resLeft , right] 的区间的时候,也就是 arr[mid] >= target 。 说明 [mid + 1, right] (因为 mid 可能是最终结果,不能舍去)是可以舍去的,此时 更新 right 到 mid 的位置,继续在 [left, mid] 上寻找左边界;• 由此,就可以通过⼆分,来快速寻找左边界;
注意:这⾥找中间元素需要向下取整。因为后续移动左右指针的时候:• 左指针: left = mid + 1 ,是会向后移动的,因此区间是会缩⼩的;• 右指针: right = mid ,可能会原地踏步(⽐如:如果向上取整的话,如果剩下 1,2 两个元素, left == 1 , right == 2 , mid == 2 。更新区间之后, left , right , mid 的 值没有改变,就会陷⼊死循环)。因此⼀定要注意,当 right = mid 的时候,要向下取整。
寻找右边界思路:◦ ⽤ resRight 表⽰右边界;◦ 我们注意到右边界的特点:▪ 左边区间 (包括右边界) [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的;▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的;• 因此,关于 mid 的落点,我们可以分为下⾯两种情况:◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候,说明 [left, mid - 1](mid 不可以舍去,因为有可能是最终结果) 都是可以舍去的,此时更新 left 到 mid 的位置;◦ 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候,说明 [mid, right] 内的元素 是可以舍去的,此时更新 right 到 mid - 1 的位置;• 由此,就可以通过⼆分,来快速寻找右边界;
注意:这⾥找中间元素需要向上取整。因为后续移动左右指针的时候:• 左指针: left = mid ,可能会原地踏步(⽐如:如果向下取整的话,如果剩下 1,2 两个元素, left == 1 , right == 2 , mid == 1 。更新区间之后, left , right , mid 的值 没有改变,就会陷⼊死循环)。• 右指针: right = mid - 1 ,是会向前移动的,因此区间是会缩⼩的; 因此⼀定要注意,当 right = mid 的时候,要向下取整。
3、算法代码
class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int begin=0;if(nums.size()==0) return {-1,-1};int left=0,right=nums.size()-1;while(right>left) //找左端点{int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else right=mid;}if(nums[left]!=target) return {-1,-1};else begin=left;left=0,right=nums.size()-1;while(right>left){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]<=target) left=mid;else right=mid-1;}return {begin,right};}
};
4、3 搜索插入位置
35. 搜索插入位置 - 力扣(LeetCode)
1、题目描述
2、算法思路
a. 分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点:设插⼊位置的坐标为 index ,根据插⼊位置的特点可以知道:• [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的;• [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。b. 设 left 为本轮查询的左边界, right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息,分析下⼀轮查询的区间:▪ 当 nums[mid] >= target 时,说明 mid 落在了 [index, right] 区间上,mid 左边包括 mid 本⾝,可能是最终结果,所以我们接下来查找的区间在 [left, mid] 上。因此,更新 right 到 mid 位置,继续查找。▪ 当 nums[mid] < target 时,说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上, mid 右边但不包括 mid 本⾝,可能是最终结果,所以我们接下来查找的区间在 [mid + 1, right] 上。因此,更新 left 到 mid + 1 的位置,继续查找。c. 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ,也就是 left == right 的时候, left 或者right 所在的位置就是我们要找的结果。
3、算法代码
class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(right>left){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else right=mid;}if(nums[left]<target) return right+1;return right;}
};
4、4 X的平方根
69. x 的平方根 - 力扣(LeetCode)
1、题目描述
2、算法思路
依次枚举 [0, x] 之间的所有数 i :(这⾥没有必要研究是否枚举到 x / 2 还是 x / 2 + 1 。因为我们找到结果之后直接就返回了,往后的情况就不会再判断。反⽽研究枚举区间,既耽误时间,⼜可能出错)▪ 如果 i * i == x ,直接返回 x ;▪ 如果 i * i > x ,说明之前的⼀个数是结果,返回 i - 1 。由于 i * i 可能超过 int 的最⼤值,因此使⽤ long long 类型
3、算法代码
class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if(x<1) return 0;int left=1,right=x;while(right>left){long long mid=left+(right-left+1)/2;if(mid*mid>x) right=mid-1;else left=mid;}return left;}
};
4、5 山峰数组的峰顶
852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣(LeetCode)
1、题目描述
2、算法思路
class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {for(int i=1;i<arr.size()-1;i++){if(arr[i]>arr[i-1]&&arr[i]>arr[i+1]){return i;} }return 0;}
};
4、5 寻找峰值
162. 寻找峰值 - 力扣(LeetCode)
1、题目描述
2、算法思路寻找⼆段性:
class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {vector<int> ret;int left=0,right=nums.size()-1;while(right>left){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]>nums[mid-1]) left=mid;else right=mid-1;}return left;}
};
4、6 寻找旋转排序数组中的最⼩值
153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣(LeetCode)
1、题目描述
2、算法思路
class Solution {
public:int findMin(vector<int>& nums) {int tmp=nums[nums.size()-1];int left=0,right=nums.size()-1;while(right>left){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>tmp) left=mid+1;else right=mid;}return nums[left];}
};
4、7 0~n-1缺失的数字
LCR 173. 点名 - 力扣(LeetCode)
1、题目描述
2、算法思路
class Solution {
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {int left=0,right=records.size()-1,k=0;while(right>left){int mid = left+(right-left)/2;if(records[mid]!=mid) right=mid;else left=mid+1;}return left==records[left]?left+1:left;}
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