数模学习day08-拟合算法

这里拟合算法可以和差值算法对比

引入

插值和拟合的区别

与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟
合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所
有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）。

插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那
么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。
尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到
一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即
可，这就是拟合的思想。(拟合的结果是得到一个确定的曲线)

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小例子

拟合曲线 

最小二乘法的集合解释

往往使用第二种定义，这也正是最小二乘的思想。
为什么不用四次方？
（1）避免极端数据对拟合曲线的影响。
（2）最小二乘法得到的结果和MLE极大似然估计一致。
         不用奇数次方的原因：误差会正负相抵。

求解最小二乘法

Matlab求解最小二乘法

clear;clc
load  data1
plot(x,y,'o')
% 给x和y轴加上标签
xlabel('x的值')
ylabel('y的值')
n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
hold on % 继续在之前的图形上来画图形
grid on % 显示网格线% % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)
% % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% xx = 2.5: 0.1 :7  % 间隔设置的越小画出来的图形越准确
% yy = k * xx + b  % k和b都是已知值
% plot(xx,yy,'-')% 匿名函数的基本用法。
% handle = @(arglist) anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
% anonymous_function为匿名函数的表达式。
% 举个小例子
%  z=@(x,y) x^2+y^2; 
%  z(1,2) 
% % ans =  5
% fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形。
% fplot(f,xinterval) 将匿名函数f在指定区间xinterval绘图。xinterval =  [xmin xmax] 表示定义域的范围f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[2.5,7]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

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如何评价拟合的好坏

最接近一最好

证明SST = SSE + SSR 

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"线性函数"的介绍

只能用于拟合函数是“线性函数”时，拟合结果的评价

参考资料：古扎拉蒂《计量经济学基础》第五版

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如何判断线性于参数的函数

在函数中，参数仅以一次方出现，且不能乘以或除以其他任何的参数，并不
能出现参数的复合函数形式。

计算拟合优度代码

y_hat = k*x+b; % y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2)  % 回归平方和
SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
SST-SSE-SSR   % 5.6843e-14  =   5.6843*10^-14   matlab浮点数计算的一个误差
R_2 = SSR / SST

注：mean()是求均值的函数。

曲线拟合工具箱

低版本的Matlab可以在命令窗口中直接输入”cftool”

利用拟合工具箱预测美国人口

自己模拟数据进行演示

% （1）randi : 产生均匀分布的随机整数（i = int）  
%产生一个1至10之间的随机整数矩阵，大小为2x5；
s1 = randi(10,2,5)
%产生一个-5至5之间的随机整数矩阵，大小为1x10；
s2 = randi([-5,5],1,10)%  （2） rand: 产生0至1之间均匀分布的随机数
%产生一个0至1之间的随机矩阵，大小为1x5；
s3 = rand(1,5)
%产生一个a至b之间的随机矩阵，大小为1x5；  % a + (b-a) * rand(1,5); 如：a,b = 2,5
s4= 2 + (5-2) * rand(1,5)% （3）normrnd:产生正态分布的随机数
%产生一个均值为0，标准差（方差开根号）为2的正态分布的随机矩阵，大小为3x4；
s5 = normrnd(0,2,3,4)% （4）roundn—任意位置四舍五入
% 0个位 1十位  2百位 -1小数点后一位  
a = 3.1415
roundn(a,-2)    % ans   =  3.1400
roundn(a,2)      % ans   =  0
a =31415
roundn(a,2)   % ans  = 31400
roundn(5.5,0)  %6
roundn(5.5,1) %10

clear;clc 
x = rand(30,1) * 10;  % x是0-10之间均匀分布的随机向量（30个样本）
y = 3 * exp(0.5*x) -5 + normrnd(0,1,30,1);
% cftool 

优秀论文中 cftool 的运用

cftool的“sao”操作