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341. 最优贸易 - AcWing题库

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。

任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。

这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。

但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。

当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。

设 C 国 n 个城市的标号从 1∼n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。

在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。

阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。

因为阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。

请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

注意：本题数据有加强。

输入格式

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 33 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。

如果 z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市 y 之间的双向道路。

输出格式

一个整数，表示答案。

数据范围

1≤n≤100000
1≤m≤500000
1≤各城市水晶球价格≤100

输入样例：

5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

输出样例：

5

解析 ：

本题做法有很多，可以使用分层图来处理，这里使用dp的方式处理。

状态划分：不重不漏，将状态转移所依据的状态体现出来；

fmax[i], fmin[i] 表示：路径上买和卖的分界点为 i 时，买入的最小值为fmin[i],卖出的最大值为fmax[i]；

那么最终的结果就为 max{fmax[i]-fmin[i]}。

状态转移方程为：fmin[k]=min(fmin[j]，……，wk)，

fmax[k]的状态转移方程类似。

本质上是个dp问题，由于本题中的图可能是有环的，即dp的状态转移是环形的具有后效性，所以我们需要将其转换最短路问题进行处理（对于环形dp可查看dp专栏）

本题要有一点特别的地方是，本题边的权值在点上，而不在边上。仔细观察可以发现，本题是不能使用Dijkstra 算法的，因为从公式fmin[k]=min(fmin[j]，……，wk)可以看出来如果使用Dijkstra算法，当存在环时，已经更新过的点还有可能被更新，等价于有负权边，换句话说，路径上的最小距离不单调递增。所以我们只能使用bellman_ford算法或其升级版算法spfa算法。

dp相当于求拓扑图上的最短路。spfa可以求任意图上的最短路。

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef pair<double, int > PDI;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e5 + 5, M = 2e6 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int ht[N], hs[N], e[M], ne[M], idx;
int w[N], dmin[N], dmax[N];
int q[N];
int vis[N];void add(int h[], int a, int b) {e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}void spfa(int h[], int dist[], int type) {int hh = 0, tt = 1;if (type==0) {memset(dist, 0x3f, sizeof dmin);dist[1] = w[1];q[0] = 1;}else {memset(dist, 0, sizeof dmax);dist[n] = w[n];q[0] = n;}while (hh != tt) {int t = q[hh++];if (hh == N)hh = 0;vis[t] = 0;for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];if (type == 0 && dist[j]>min(dist[t], w[j]) || type == 1 && dist[j]<max(dist[t], w[j])) {if (type == 0) {dist[j] = min(dist[t], w[j]);}else {dist[j] = max(dist[t], w[j]);}if (vis[j] == 0) {q[tt++] = j;if (tt == N)tt = 0;vis[j] = 1;}}}}
}int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &w[i]);}memset(hs, -1, sizeof hs);memset(ht, -1, sizeof ht);for (int i = 1,a,b,c; i <= m; i++) {scanf("%d%d%d", &a, &b,&c);add(hs, a, b), add(ht, b, a);if (c == 2) {add(hs, b, a), add(ht, a, b);}}spfa(hs, dmin, 0);spfa(ht, dmax, 1);int ret = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {ret = max(dmax[i] - dmin[i], ret);}cout << ret << endl;return 0;
}