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手撕乘积(Multiplication & Product): 穷举和图示(2) 点积的几何意义

点乘

x = 3
y = 5
xNda = np.arange(x)
>>> array([0, 1, 2])
x2Nda = xNda*2+1
>>> array([1, 3, 5])
yNda = np.arange(1, y)
>>> array([1, 2, 3, 4])
xyNda = np.meshgrid(xNda, yNda)
>>> array([[[0, 1, 2],[0, 1, 2],[0, 1, 2],[0, 1, 2]],[[0, 0, 0],[1, 1, 1],[2, 2, 2],[3, 3, 3]]])np.dot(x, y)
>>> 15
np.dot(xNda, x)
>>> array([0, 3, 6])
np.dot(xNda+3, xNda+7) # 👇图示之
>>> 98

向量的点乘，也叫做向量的内积、数量积。对两个向量执行点乘运算，就是对着两个向量对应位置一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

定义: 向量 $a=[a_1,a_2,...,a_n]$ 和向量 $b=[b_1,b_2,...,b_n]$ 的内积为:

$a\cdot b={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$

特别地，$0\cdot a=a\cdot 0=0$；若 $a,b$ 是非零向量，则 $a$ 与 $b$ 正交的充要条件是 $a\cdot b=0$。

点积的几何意义: 可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在 $b$ 向量在 $a$ 向量方向上的投影，有公式:

$$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$$

其中, $\theta$ 为 $a$ 与 $b$ 之间的夹角。

根据这个公式就可以计算向量 $a$ 和向量 $b$ 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为:

• $a\cdot b>0$，方向基本相同，夹角在 $0°$ 到 $90°$ 之间；
• $a\cdot b=0$，正交，相互垂直；
• $a\cdot b<0$，方向基本相反，夹角在 $90°$ 到 $180°$ 之间。

向量点乘的运算特性:

• $a^2\ge 0$；当 $a^2=0$ 时，必有 $a=0$； （正定性）
• $a\cdot b=b\cdot a$；（对称性）
• $(\lambda a+\mu b)\cdot c=\lambda a\cdot c+\mu b\cdot c$，对任意实数 $\lambda ,\mu$ 成立； （线性）
• $\cos \angle (a,b)=a\cdot b/(|a||b|)$；(余弦定理)
• $|a\cdot b|\le |a||b|$，等号只在 $a$ 与 $b$ 共线时成立。

代码解释点积的几何意义:

问题:

向量$a=[1,0]$和$b=[1,2]$两个向量之间的夹角是多少?
用图解释一下:

import matplotlib.pyplot as plt
ndA = np.asanyarray
a = ndA((1,1))
b = ndA((3,2))
o = ndA((0,0))
abAngle = np.degrees(np.arccos(np.dot(a,b)/(np.linalg.norm(a)*np.linalg.norm(b))))
print(f'abAngle={abAngle}°')
plt.axis('equal')
plt.grid()
plt.plot(*zip(o,a), 'r')
plt.plot(*zip(o,b), 'b')
plt.show()

np.dot(xNda, xNda)
>>> 5

• 💡: 自己点乘自己相当于求向量的模的平方$a\cdot a=|a{|}^2$。

# 向量的模长(即到原点的距离)
np.linalg.norm(xNda)
xDst = np.dot(xNda, xNda)**.5

判断向量$\vec{a}$与$\vec{b}$是否正交, 是否同向…

def v1v2(a, b):dotAb = np.dot(a, b)if dotAb == 0:print('垂直')elif dotAb > 0:print('同向')elif dotAb < 0:print('反向')if abs(dotAb) == 1:print('平行')

标量投影

$$a_b=|a|\cos \theta$$

$$a_b=|a|\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|b|}=a\cdot \hat{b}$$

# aPjb = lambda a, b: np.dot(a, b)/np.linalg.norm(b) * b/np.linalg.norm(b) # 向量a在向量b上的投影的标量(长度); 乘以向量b的单位向量, 得到向量a在向量b上的投影向量aPjb = lambda a, b: b * np.dot(a, b)/np.dot(b, b) # 获取向量a在向量b上的投影点()# 进一步简化, 已知b的单位向量
aPjbN = lambda a, bN: bN * np.dot(a, bN) # 获取向量a在向量b上的投影点()

• 注意⚠️: 👆🏻$\vec{a}$和$\vec{b}$的关系建立在笛卡尔坐标系, 原点o是起点.

引入第3点$\vec{c}$作为起点, 点>>线>>面, 让我们从起点o进入欧氏几何…

a + b
>>> array([4, 5])
c = ndA((1,3))
b - a
>>> array([2, 1])
a - b
>>> array([-2, -1])

```pythonnp.linalg.norm(a-b) # 欧氏距离
>>> 2.23606797749979

$\angle abc$ = ?

abLen = lambda: a_b: np.linalg.norm(a_b)
acbAngle = np.degrees(np.arccos(np.dot(a-c, b-c)/(np.linalg.norm(a-c)*np.linalg.norm(b-c))))
print(f'acbAngle={acbAngle}°')

a到bc的距离:

a2bcLen = abLen(a - aPjb(c-a, b-c))

升级继续, 让这些图形动起来:
点在空间中, 只有移动, 👇:

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
o = ndA((0,0,0))
a = ndA((1,1,1))
b = ndA((3,2,1))
o + ndA((1, 0, 0)) # 表示o点在x轴上移动1个单位, y轴和z轴不变; 以此类推
def axMat(p, xyz='x', stp=1):if xyz == 'x':p1 = p + ndA((stp, 0, 0))elif xyz == 'y':p1 = p + ndA((0, stp, 0))elif xyz == 'z':p1 = p + ndA((0, 0, stp))return p1
# 同理, plnMat, 三维空间中的平面移动;
def plnMat(p, xyz='xy', stp=ndA((1,1))):if xyz == 'xy':p1 = p + ndA((stp[0], stp[1], 0))elif xyz == 'yz':p1 = p + ndA((0, stp[0], stp[1]))elif xyz == 'xz':p1 = p + ndA((stp[0], 0, stp[1]))return p1
# 如果都不为0, 就摆脱了轴和面的限制, 可以在空间中任意移动,,, 但是, 你得知道你要移动到哪里去...好无聊...我们先从二维的几何体开始
# 先建一个三角形abc
abcNda = ndA([[1,1], [3,2], [1,3]])
# tfMat  = ndA([[r0c0, r0c1], [r1c0, r1c1]])
tfMat = lambda r0c0, r0c1, r1c0, r1c1: ndA([[r0c0, r0c1], [r1c0, r1c1]])

所谓的变换矩阵(Transformation matrix), '就是一个二维数组, 用来描述一个几何体的变换, 例如: 旋转, 缩放, 平移等等…, ’ (👈🏻小c插话)是一个(n,n)的数组, 好吧…其实呢, 我们只需要知道:2x2, 3x3和4x4这三种矩阵来完成欧几里得变换, 先从二维开始…

未完待续…
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