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B 题整体模型构建

1.   潜水器动力系统失效：模型需要考虑潜水器在无推进力情况下的行为。

2.   失去与主船通信：考虑无法从主船接收指令或发送位置信息的情况。

3.   中性浮力和海底定位：潜水器可能位于海底或达到水下某个中性浮力点。 4.   水流和海水密度变化：影响潜水器位置的环境因素。

5.   海底地理：海底的地形可能会影响潜水器的最终位置或移动路径。

数学模型和公式

为预测潜水器的位置，我们可以建立基于物理学原理的动态模型，考虑力学和流体动力 学的因素。以下是潜水器运动的基本方程：

动力学方程

设潜水器的质量为 mm   ，受到的浮力为 FbF_b   ，重力为 FgF_g   ，水流对潜水器施加 的力为 FcF_c   ，潜水器在水中的阻力为 F_d ，则潜水器的运动方程可表示为：

md2r→dt2=Fb→+Fg→+Fc→− Fd→ m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F_b} + \vec{F_g} + \vec{F_c} - \vec{F_d}

其中， r →\vec{r}  是潜水器的位置向量， tt   是时间。

mm  ：潜水器的质量

Fb→\vec{F_b}  ：浮力，方向向上

Fg→=m ⋅ g\vec{F_g} = m \cdot g  ：重力，方向向下， gg  是重力加速度

Fc→\vec{F_c}  ：水流对潜水器的作用力，方向依赖于水流方向

Fd→\vec{F_d}  ：阻力，方向与潜水器运动方向相反，大小可以用 Fd=12ρv2CdAF_d =

\frac{1}{2} \rho v^2 C_d A  来估计，其中 ρ\rho  是水的密度， vv  是潜水器相对于水的速 度， CdC_d  是阻力系数，$A$  是潜水器迎水面积

潜水器浮力和阻力的计算

浮力 FbF_b  可以通过潜水器排水量和水的密度来计算，阻力 FdF_d  可以根据潜水器的 形状、表面粗糙度和运动速度来估算。

数值解法

 潜水器的运动方程是一个二阶微分方程，我们可以采 用数值方法（如欧拉方法或龙格-库塔方法）对其进行求解，得到潜水器随时间变化的 位置和速度。

模型假设

. 潜水器被视为质点，忽略其尺寸和形状的影响。

. 假设水流速度和方向是已知的，可以从海洋流动模型获得。

. 海底地形对潜水器运动的影响通过调整浮力和阻力参数来模拟。

通过上述模型和方法，我们可以预测在不同情况下潜水器的位置，为 MCMS 制定安全程 序提供科学依据。

为了解决上述复杂的数学建模问题，我们将问题分解为四个主要部分：定位、准备、搜 索和外推。下面是针对每个部分的详细分析和数学模型。

定位

模型构建

. 基于多传感器融合的动态预测模型：利用卡尔曼滤波（Kalman Filter）或扩展卡尔曼滤波 （Extended Kalman Filter, EKF）来整合来自潜水器内部（如 IMU 传感器）和外部（如声纳、 GPS 浮标）的多源信息，预测潜水器随时间变化的位置。

数学公式

假设潜水器的状态为 x →t= [xt,yt,zt,x˙t,y˙t,z˙t]T\vec{x}_t = [x_t, y_t, z_t, \dot{x}_t, \dot{y}_t, \dot{z}_t]^T  ，

其中 xt,yt,ztx_t, y_t, z_t  表示潜水器在三维空间中的位置，

x˙t,y˙t,z˙t\dot{x}_t, \dot{y}_t, \dot{z}_t  表示对应的速度。

卡尔曼滤波的预测和更新步骤如下：

. 预测步骤： x →t |t− 1=F →tx→t− 1 |t− 1+B→tu→t \vec{x}_{t |t- 1} = \vec{F}_t \vec{x}_{t- 1 |t- 1} + \vec{B}_t    \vec{u}_t      P →t |t− 1=F →tP→t− 1 |t− 1F→tT+Q→t    \vec{P}_{t |t- 1}     =    \vec{F}_t \vec{P}_{t- 1 |t- 1} \vec{F}_t^T + \vec{Q}_t

. 更新步骤：  K →t=P →t |t− 1H→tT(H→tP→t |t− 1H→tT+R→t)−1 \vec{K}_t  = \vec{P}_{t|t- 1} \vec{H}_t^T            (\vec{H}_t            \vec{P}_{t |t- 1}             \vec{H}_t^T            +            \vec{R}_t)^{- 1} x →t |t=x →t |t− 1+K→t(z →t− H →tx→t |t− 1)   \vec{x}_{t |t}    =     \vec{x}_{t |t- 1}     +     \vec{K}_t (\vec{z}_t - \vec{H}_t \vec{x}_{t |t- 1}) P→t |t=(I− K →tH→t)P→t |t− 1 \vec{P}_{t |t} = (I - \vec{K}_t \vec{H}_t) \vec{P}_{t |t- 1}

其中， F →t\vec{F}_t  是状态转移矩阵， B →t\vec{B}_t  是控制输入矩阵， u →t\vec{u}_t  是外部控制输入，P →t\vec{P}_t  是估计误差协方差，Q→t\vec{Q}_t  是过程噪声协方差， H →t\vec{H}_t  是观测模型矩阵， R →t\vec{R}_t  是观测噪声协方差， K →t\vec{K}_t  是卡 尔曼增益， z →t\vec{z}_t  是实际观测值。

不确定性分析

. 主要的不确定性来源包括传感器噪声、模型误差、外部环境（如水流变化和海底地形）的未 知性。蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）可用于评估这些不确定性对预测准确性的影 响。

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