λ-矩阵知识点

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λ-矩阵

若矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素为关于 $\lambda$ 的多项式，则称 $\mathbf{A}$ 为$\lambda$-矩阵 (表示为 $\mathbf{A}(\lambda )$).

$\lambda$-矩阵也存在秩、逆、初等变换、相抵的概念, 但是有一些不同.

定义. $\lambda$-矩阵的秩是指最高阶非零子式的阶数. 秩等于矩阵阶数则称矩阵是满秩的.

定理. $\lambda$-矩阵满秩等价于行列式不为 $0$.

定义. $\lambda$-矩阵的初等行变换有3种: ① 交换两行; ② 数乘行; ③ 一行乘以 $\psi (\lambda )$ 倍加到另一行，其中 $\psi (\lambda )$ 是以 $\lambda$ 为变元的多项式. 类似地定义初等列变换. 初等行变换和初等列变换统称为初等变换.

可以看出, 初等行/列变换仅③和常数矩阵不同, 乘以常数换成了乘以多项式.

定义. 若一个$\lambda$-矩阵可经有限次初等变换得到另一个$\lambda$-矩阵, 则称两个矩阵相抵.

仿照常数矩阵, 可得如下定理:

定理. 相抵的$\lambda$-矩阵一定等秩.

但等秩的矩阵不一定相抵.

借助Smith标准形的知识可以得如下定理:

定理. $\lambda$-矩阵相抵的充要条件是行列式差一个非零常系数.

定义. 对于 $\mathbf{A}(\lambda )$, 若存在 $\lambda$-矩阵 $\mathbf{B}(\lambda )$ 使得 $\mathbf{A}(\lambda )\mathbf{B}(\lambda )=\mathbf{B}(\lambda )\mathbf{A}(\lambda )=\mathbf{I}$, 则称 $\mathbf{A}(\lambda )$ 为可逆阵, $\mathbf{B}(\lambda )$ 为 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的逆矩阵.

$\lambda$-矩阵可逆一定满秩，但满秩不一定可逆.

仿照常数矩阵, 可得如下定理:

定理. $\lambda$-矩阵可逆的充要条件是行列式为非零常数.

定理. 对于 $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$, 若存在$n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{B}(\lambda )$, 满足 $\mathbf{A}(\lambda )\mathbf{B}(\lambda )=\mathbf{I}$/$\mathbf{B}(\lambda )\mathbf{A}(\lambda )=\mathbf{I}$, 则 $\mathbf{A}(\lambda )$ 是可逆的, 其逆矩阵为 $\mathbf{B}(\lambda )$.

借助Smith标准形的知识可以得如下定理:

定理. $\lambda$-矩阵可逆的充要条件是相抵于单位阵.