初识二叉树和二叉树的基本操作

目录

一、树 

 1.什么是树

2. 与树相关的概念

二、二叉树 

1.什么是二叉树

2.二叉树特点

3.满二叉树与完全二叉树

4.二叉树性质

 相关题目：

5.二叉树的存储 

6.二叉树的遍历和基本操作 

 二叉树的遍历

二叉树的基本操作

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一、树 

 1.什么是树

• 子树是不相交的;
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
• 一棵N个结点的树有N-1条边。 

树：                                                    非树： 

       

2. 与树相关的概念

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

二、二叉树 

1.什么是二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

• 或者为空
• 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

 

2.二叉树特点

• 二叉树不存在度大于2的结点（树的度：一棵树中，所有结点 度的最大值 称为树的度）
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树 

3.满二叉树与完全二叉树

• 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵又树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树

• 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 意思就是完全二叉树的所有节点从上到下，从左到右依次排满。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二又树。 

完全二叉树有一个特点，那就是如果总结点数为奇数，那么这个二叉树就只有一个度为1的节点，如果是偶数，就没有度为1的结点。 

4.二叉树性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子 

 相关题目：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12 

答案：
1.B

解析：

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点。
由前面说的二叉树性质第3点：对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。

所以 n2=199，n0=n2+1=200.

2.A

解析： 

设结点总数为N=2n，因为题目中说了这是一颗完全二叉树，而结点总数是偶数，那么说明这个二叉树只有一个度为1的结点。
N=n0+n1+n2 => 2n=n0+n2+1 因为n0=n2+1，所以  2n-1=n0+n0-1 => n0=n

3.B 

解析： 

N=767，767为奇数，所以这个二叉树没有度为1的结点（n1=0）
N=n0+n1+n2=n0+n0-1=767 => n0=384

4.B 

解析： 

由前面说的二叉树性质第4点：具有n个结点的完全二叉树的深度k为l上取整.

< 532 <  => 9< <10，因为是上取整，那么 k=10.

5.二叉树的存储 

二叉树的存储结构分为：
顺序存储和类似于链表的链式存储。二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式（孩子表示法以及孩子双亲表示法）。 

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

6.二叉树的遍历和基本操作 

二叉树的遍历

1.前中后序遍历

• 前序遍历：根节点 左子树 右子树
• 中序遍历：左子树 根节点 右子树
• 后序遍历：左子树 右子树 根节点

2.层序遍历

自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

有如下二叉树，大家可用上述方法自行遍历 

前序遍历:A B D E H C F G

中序遍历:D B E H A F C G 

后序遍历:B D E H C F G A 

层序遍历:A B C D E F G H 

代码实现： 

这里先按照上图用穷举的方式快速构建一颗二叉树（不是构建二叉树的正确方法） 

public class BinaryTree {public static class TreeNode {TreeNode left;TreeNode right;char val;TreeNode(char val) {this.val = val;}}private TreeNode root;public TreeNode createTree() {TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');root = A;A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;return A;}//前序遍历public void preOrder(TreeNode root){if(root==null){return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root){if (root==null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}//后序遍历public void postOrder(TreeNode root){if (root==null){return;}preOrder(root.left);preOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}}

public class Main {public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTree=new BinaryTree();BinaryTree.TreeNode root=binaryTree.createTree();System.out.print("前序遍历:");binaryTree.preOrder(root);System.out.println();System.out.print("中序遍历:");binaryTree.inOrder(root);System.out.println();System.out.print("后序遍历:");binaryTree.postOrder(root);}
}

运行结果：

二叉树的基本操作

1. 获取树中节点的个数

这个方法实现在这里有两种思路：

1.遍历这个树，是结就nodeSize++
2.用子问题的思路来解决：总结点数=左子树结点的个数+右子树结点的个数+根结点

    public static int nodeSize=0;//获取树中节点的个数(遍历每个节点）public void size(TreeNode root){if (root==null){return;}nodeSize++;size(root.left);size(root.right);}//用子问题的思路来解决：总节点数=左子树节点的个数+右子树节点的个数+根节点public int size2(TreeNode root){if (root==null){return 0;}int tmp=size2(root.left)+size2(root.right)+1;return tmp;}

2.获取叶子节点的个数

叶子结点的特点就是度为0，即其左子树和右子树都是空。

这个方法实现在这里有两种思路：

1.遍历这个树，只要root不为空且root的左子树和右子树都为空，就说明root所在的结点是叶子结点
2.用子问题的思路来解决：总叶子结点数=左子树的叶子结点+右子树的叶子结点

    public int leafSize;public void getLeafNodeCount(TreeNode root) {if(root == null) {return;}if(root.left == null && root.right == null) {leafSize++;}getLeafNodeCount(root.left);getLeafNodeCount(root.right);}//子问题思路：这颗树的总叶子结点数=左子树的叶子结点+右子树的叶子结点public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount2(root.left)+ getLeafNodeCount2(root.right);}

3.获取第K层节点的个数

    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if (root==null){return 0;}if (k==1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}

4.获取二叉树的高度

 整棵树的高度=找出 左子树的高度 和 右子树的高度 的最大值 +1（树的高度或深度：树中结点的最大层次）

    // 获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root){if(root==null){return 0;}int leftHeight=getHeight(root.left);int rightHeight=getHeight(root.right);return Math.max(leftHeight,rightHeight)+1;}

5. 检测值为value的元素是否存在

1.先判断根节点的值是不是我们要找的value，如果是就返回这个root

2.如果当前根节点不是我们要找的value，那就到当前根节点的左子树去找，如果左子树找不到就去右子树找。

// 检测值为value的元素是否存在private TreeNode find(TreeNode root, int val){if (root==null){return null;}if (root.val==val){System.out.println(root.val);return root;}TreeNode leftval=find(root.left,val);if(leftval!=null){return leftval;}TreeNode rightval=find(root.right,val);if (rightval!=null){return rightval;}return null;}

6.层序遍历

先入队根节点，然后出队，若当前根节点左右不为空，则把不为空的左右入队，出新的队头，以此类推。  

   public void levelOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();System.out.print(cur.val+" ");if(cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}if(cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}}

7.判断一棵树是不是完全二叉树

1.先把根节点放到队列当中

2.队列不为空，弹出元素，带入左右(可以为空)

3.当队列弹出元素为null则停止

4.最后一步，判断当前队列是否元素都是nul，只要出现不为nul的元素，则当前二又树不是完全二叉树 

   public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if(root == null) return true;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();if(cur != null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {break;//结束之后  遍历队列剩下的所有元素 是不是都是null}}// 遍历队列剩下的所有元素 是不是都是nullwhile (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();if(cur != null) {return false;}}return true;}