LeetCode-72. 编辑距离【字符串 动态规划】
LeetCode-72. 编辑距离【字符串 动态规划】
- 题目描述:
- 解题思路一:动规五部曲
- 解题思路二:动态规划【版本二】
- 解题思路三:0
题目描述:
给你两个单词 word1 和 word2, 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作:
插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符
示例 1:
输入:word1 = “horse”, word2 = “ros”
输出:3
解释:
horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’)
rorse -> rose (删除 ‘r’)
rose -> ros (删除 ‘e’)
示例 2:
输入:word1 = “intention”, word2 = “execution”
输出:5
解释:
intention -> inention (删除 ‘t’)
inention -> enention (将 ‘i’ 替换为 ‘e’)
enention -> exention (将 ‘n’ 替换为 ‘x’)
exention -> exection (将 ‘n’ 替换为 ‘c’)
exection -> execution (插入 ‘u’)
提示:
0 <= word1.length, word2.length <= 500
word1 和 word2 由小写英文字母组成
此题的解题思路与LeetCode-1143. 最长公共子序列【字符串 动态规划】非常一致!
解题思路一:动规五部曲
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]。
有同学问了,为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢,为啥不表示下标i为结尾的字符串呢?
为什么这么定义我在 718. 最长重复子数组 (opens new window)中做了详细的讲解。
其实用i来表示也可以! 用i-1就是为了方便后面dp数组初始化的。
- 确定递推公式
在确定递推公式的时候,首先要考虑清楚编辑的几种操作,整理如下:
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])增删换
也就是如上4种情况。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑,dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1],即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
此时可能有同学有点不明白,为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢?
那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义,word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了,那么就不用编辑了,以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。
在下面的讲解中,如果哪里看不懂,就回想一下dp[i][j]的定义,就明白了。
在整个动规的过程中,最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义!
if (word1[i - 1] != word2[j - 1]),此时就需要编辑了,如何编辑呢?
操作一:word1删除一个元素,那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
操作二:word2删除一个元素,那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
这里有同学发现了,怎么都是删除元素,添加元素去哪了。
word2添加一个元素,相当于word1删除一个元素,例如 word1 = “ad” ,word2 = “a”,word1删除元素’d’ 和 word2添加一个元素’d’,变成word1=“a”, word2=“ad”, 最终的操作数是一样! dp数组如下图所示意的:
a a d+-----+-----+ +-----+-----+-----+| 0 | 1 | | 0 | 1 | 2 |+-----+-----+ ===> +-----+-----+-----+a | 1 | 0 | a | 1 | 0 | 1 |+-----+-----+ +-----+-----+-----+d | 2 | 1 |+-----+-----+
操作三:替换元素,word1替换word1[i - 1],使其与word2[j - 1]相同,此时不用增删加元素。
可以回顾一下,if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。
那么只需要一次替换的操作,就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。
所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
综上,当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的,即:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
递归公式代码如下:
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}
- dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i][j]的定义:
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]。
那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢?
dp[i][0] :以下标i-1为结尾的字符串word1,和空字符串word2,最近编辑距离为dp[i][0]。
那么dp[i][0]就应该是i,对word1里的元素全部做删除操作,即:dp[i][0] = i;
同理dp[0][j] = j;
- 确定遍历顺序
从如下四个递推公式:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
可以看出dp[i][j]是依赖左方,上方和左上方元素的,如图:
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
- 举例推导dp数组
以示例1为例,输入:word1 = “horse”, word2 = "ros"为例,dp矩阵状态图如下:
class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:dp = [[0] * (len(word2)+1) for _ in range(len(word1)+1)]for i in range(len(word1)+1):dp[i][0] = ifor j in range(len(word2)+1):dp[0][j] = jfor i in range(1, len(word1)+1):for j in range(1, len(word2)+1):if word1[i-1] == word2[j-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1]else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1return dp[-1][-1]
时间复杂度:O(nm)
空间复杂度:O(nm)
解题思路二:动态规划【版本二】
class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:m, n = len(word1), len(word2)dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]for i in range(m+1):dp[i][0] = ifor j in range(n+1):dp[0][j] = jfor i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if word1[i-1] == word2[j-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1]else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1], dp[i][j-1]) + 1return dp[-1][-1]
时间复杂度:O(nm)
空间复杂度:O(nm)
解题思路三:0
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(n)
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