树和二叉树（一）

一、树

      非线性数据结构，在实际场景中，存在一对多，多对多的情况。

 

树( tree）是n (n>=0）个节点的有限集。当n=0时，称为空树。

在任意一个非空树中，有如下特点。

1.有且仅有一个特定的称为根的节点。

2.当n>1时，其余节点可分为m (m>0）个互不相交的有限集，每一个集合本身又是一个树，并称为根的子树。 

如图所示：节点1:根节点（root），节点5,6,7,8:叶子节点（leaf）；分为不同的层级，节点4是父节点（parent）,节点4的孩子节点（child）节点4的兄弟节点（sibling）;

 

树的最大的层级树，称为数的高度或深度，上图的数的高度为4。 

二、 二叉树

     二叉树(binary tree）是树的一种特殊形式。二叉顾名思义，这种树的每个节点最多有2个孩子节点。

   注意：这里是最多有2个，也可能只有1个，或者没有孩子节点。 

 

二叉树节点的两个孩子节点，一个被称为左孩子(leftchild) ，一个被称为右孩子（right child）。

此外，二叉树还有两种特殊形式，一个叫作满二叉树，另一个叫作完全二叉树。

2.1、二叉树的五种基本形式： 

2.2、二叉树与树的区别 ：

• 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2
• 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分

2.3、满二叉树与完全二叉树：

（1）满二叉树

     一个二叉树的所有非叶子节点都存在左孩子和右孩子，并且所有叶子节点都在同一层级上，那么这个树就是满二叉树。 

简单点说，满二叉树的每一个分支都是满的。

 

 （2）完全二叉树

     对一个有n个节点的二叉树，按层级顺序编号，则所有节点的编号为从1到n。如果这个树所有节点和同样深度的满二叉树的编号为从1到n的节点位置相同，则这个二叉树为完全二叉树。

 

     在上图中，二叉树编号从1到12的12个节点，和前面满二叉树编号从1到12的节点位置完全对应。因此这个树是完全二叉树。 

      完全二叉树的条件没有满二叉树那么苛刻:满二叉树要求所有分支都是满的;而完全二叉树只需保证最后一个节点之前的节点都齐全即可。  

三、二叉树的性质 

1、在二叉树的第 i 层上最多有 2^n-1个结点（i>=1） 

2、深度（高度）为 k 的二叉树最多有 2^k - 1个结点（k>=1）

 

3、对任意一颗二叉树，如果其叶子节点数为 N0,度为2的结点数为N2,则 N0 = N2 + 1 

设 : 结点之间的总连线数是B ,总结点数是n,
        度为0的结点是n0,
        度为1的结点是n1,
        度为2的结点是n2, 

      从上往下看 二叉树最大的度就是2所以的节点要么度是2，要么度是1，要么度是0，度是2的会发出两条线, 度是1的发出1条线所以得到图片里的公式 B = n2 * 2 + n1;

二叉树的总结点数 n = n1 +n2+n0;

总连续数 B=n-1

 

由此得出：度是0的结点个数=度是2的结点个数+1

四、二叉树的存储

1.链式存储结构

2.数组

 （1）链式存储结构

  

• 存储数据的data变量
• 指向左孩子的left指针
• 指向右孩子的right指针

（2）数组

        使用数组存储时，会按照层级顺序把二叉树的节点放到数组中对应的位置上。如果某一个节点的左孩子或右孩子空缺，则数组的相应位置也空出来。

 如何方便地在数组中定位二叉树的孩子节点和父节点？

     假设一个父节点的下标是parent，

     左孩子节点的下标=2xparent +1;

     右孩子节点的下标=2xparent+2。

由此：

     如果一个左孩子节点的下标是leftChild，那么它的父节点下标=(leftChild-1)/2。

     如果一个右孩子节点的下标是rightChild，那么它的父节点下标=(rightChild-2)/2。

  

 图上所示， 节点5的索引是4，那么节点5的父节点=(4-2)/2=1,由此可得索引1对应的是节点2

五、二叉树的遍历

1. 深度优先遍历
2. 广度优先遍历

1. 深度优先遍历
    深度优先( depth first search，DFS ) ，顾名思义就是偏向于纵深，“一头扎到底”的访问方式。深度优先遍历又根据遍历顺序的不同分为三种：前序遍历、中序遍历、后序遍历。

1.1 前序遍历
所谓前序遍历，是指二叉树遍历每个子树的时候，都是按照根结点、左子树、右子树的顺序来遍历，因为根结点在前，所以叫做前序遍历。前序遍历中根结点的优先级别最高。如下图所示：

1.2 中序遍历

如果二叉树遍历每个子树的时候，都是按照左子树、根结点、右子树的顺序来遍历，因为根结点在中间，所以叫做中序遍历。如下图所示：

1.3 后序遍历

二叉树遍历每个子树的时候，都是按照左子树、右子树、根结点的顺序来遍历，因为根结点在最后，所以叫做后序遍历。如下图所示：

 使用递归的方式来操作，如图所示

''''树节点'''
class TreeNode:'''初始化'''def __init__(self,data):self.data=data #数据self.left=None #左节点self.right=None #右节点'''二叉树'''
class MyTree:def create_tree(self,input_list=[]):#判断数列是否为空if input_list is None or len(input_list)==0:return None#第一个出队data=input_list.pop(0)#判断数据为空if data is None:return None#树节点node=TreeNode(data)#创建左节点node.left=self.create_tree(input_list)#创建右节点node.right =self.create_tree(input_list)return nodedef before_foreach(self,node):'''前序遍历  （根左右）:param node:  二叉树节点:return:'''# 判断节点为空if node is None:return None#显示节点数据print(node.data,end=',')#再次遍历左节点，右节点self.before_foreach(node.left)self.before_foreach(node.right)return nodedef middle_foreach(self,node):'''中年序遍历  （左根右）:param node:  二叉树节点:return:'''# 判断节点为空if node is None:return None#再次遍历左节点self.middle_foreach(node.left)# 显示节点数据print(node.data, end=',')# 再次遍历右节点self.middle_foreach(node.right)return nodedef after_foreach(self,node):'''后序遍历  （左右根）:param node:  二叉树节点:return:'''# 判断节点为空if node is None:return None#再次遍历左节点，右节点self.after_foreach(node.left)self.after_foreach(node.right)# 显示节点数据print(node.data, end=',')return nodeif __name__ == '__main__':#二叉树对象my=MyTree()#列表ll=list([5,6,8,None,None,10,None,None,9,None,7])#调用方法node=my.create_tree(input_list=ll)print('前序遍历')my.before_foreach(node)print('\n中序遍历')my.middle_foreach(node)print('\n后序遍历')my.after_foreach(node)

 

 2. 广度优先遍历

     广度优先遍历( Breadth First Search，BFS )也叫层序遍历，就是按照二叉树中的层次从左到右依次遍历每层中的结点。层序遍历的实现思路是利用队列来实现。

     先将树的根结点入队，然后再让队列中的结点出队。队列中每一个结点出队的时候，都要将该结点的左子结点和右子结点入队。当队列中的所有结点都出队，树中的所有结点也就遍历完成。此时队列中结点的出队顺序就是层次遍历的最终结果。如下图所示：

 

（1） 根节点1入队列

 

（2） 节点1出队，输出节点1，并得到节点1的左孩子节点2、右孩子节点3。让节点2和节点3入队。

（3） 节点2出队，输出节点2，并得到节点2的左孩子节点4、右孩子节点5。让节点4和节点5入队。

（4） 节点3出队，输出节点3，并得到节点3的右孩子节点6。让节点6入队。

 

（5）节点4出队，输出节点4，由于节点4没有孩子节点，所以没有新节点入队。

（6）节点5出队，输出节点5，由于节点5同样没有孩子节点，所以没有新节点入队。

 

（7） 节点6出队，输出节点6，节点6没有孩子节点，没有新节点入队。

  使用递归的方式来操作，如上图所示

'''节点'''
class TreeNode:'''初始化数据'''def __init__(self, data):self.data = dataself.left = Noneself.right = None'''层序遍历'''
def level_order_traversal(root):# 判断节点为空if root is None:return []#数列result = []#队列queue = [root]#循环while queue:level = []  #层列#循环for _ in range(len(queue)):#第一个数据出队列node = queue.pop(0)#添加数据level.append(node.data)#判断左节点是否不为空if node.left is not None:queue.append(node.left)# 判断左节点是否不为空if node.right is not None:queue.append(node.right)#添加到列表中result.append(level)return resultif __name__ == '__main__':#二叉树对象root = TreeNode(1)root.left = TreeNode(2)root.right = TreeNode(3)root.left.left = TreeNode(4)root.left.right = TreeNode(5)root.right.right = TreeNode(6)print(level_order_traversal(root))

 

    在实际应用中，二叉树又是使用最广泛的，特别是二叉树的几种遍历操作的规则，需要重点掌握。在面试或应试中，通常会根据前序、中序、后序中的两种序列，询问另外一种树的遍历结果。