高等数学——定积分和不定积分

不定积分

不定积分是导数的逆运算。

概念

• 原函数：设$f(x)$在区间$(a,b)$内有定义，若存在函数$F(x)$，使其在该区间内任何一点都有$F^{\prime }(x)=f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$在该区间内的原函数。若$F(x)$为$f(x)$在某区间内的原函数，则$F(x)+C$也为$f(x)$在该区间内的原函数。若$F(x),G(x)$为$f(x)$在某区间内的原函数，则$F(x)-G(x)=C$。
• 不定积分：$f(x)$的全体原函数称为$f(x)$的不定积分，记为$\int f(x)dx$，如果$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，则有$\int f(x)dx=F(x)+C$。
• 原函数存在定理：若$f(x)$在区间$I$上连续，则$f(x)$在区间$I$上一定存在原函数；若$f(x)$在区间$I$上有第一类间断点，则$f(x)$在区间$I$上没有原函数。

几何意义

设$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，则从几何上看，$F(x)$表示平面上的一条曲线，称为$f(x)$的积分曲线，因此不定积分$\int f(x)dx=F(x)+C$在几何上表示一簇积分曲线，这簇积分曲线对于横坐标$x$处的切线都相互平行。

性质

• $(\int f(x)dx{)}^{\prime }=f(x)$
• $d(\int f(x)dx)=f(x)dx$
• $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$
• $\int df(x)=f(x)+C$
• $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
• $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k为常数)$

不定积分的基本公式

• $\int 0dx=C$
• $\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C(a\ne -1)$
• $\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C(a>0,a\ne 1)$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int sinxdx=-cosx+C$
• $\int conxdx=sinx+C$
• $\int se{c}^{2}xdx=tanx+C$
• $\int sc{s}^{w}xdx=-cotx+C$
• $\int secxtanxdx=secx+C$
• $\int cscxcotxdx=-cscx+C$
• $\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C$
• $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$
• $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C$
• $\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$
• $\int cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C$

三种主要积分法

• 第一类换元积分法：设$\int f(u)du=F(u)+C,u=\phi (x)$存在连续导数，则$\int f[\phi (x)]d\phi (x)=F(\phi (x))+C$。常见的凑微分形式如下：

  • $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$
  • $\int x^{m}f(a{x}^m+b)dx=\frac{1}{(m+1)a}\int f(a{x}^{m+1}+b)d(a{x}^{m+1}+b)(m\ne 1)$
  • $\int f(\sqrt{x})\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\int f(\sqrt{x})d\sqrt{x}$
  • $\int f(e^x)e^{x}dx=\int f(e^x)d(e^x)$
  • $\int f(lnx)\frac{1}{x}dx=\int f(lnx)d(lnx)$
  • $\int f(sinx)cosxdx=\int f(sinx)d(sinx)$
  • $\int f(cosx)sinxdx=-\int f(cosx)d(cosx)$
  • $\int f(tanx)\frac{1}{co{s}^{2}x}dx=\int f(tanx)d(tanx)$
  • $\int f(arcsinx)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f(arcsinx)d(arcsinx)$
  • $\int f(arctanx)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(arctanx)d(arctanx)$

• 第二类换元积分法：设$x=\phi (x)$是单调的、可导的函数，并且${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，又$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C$，则$\int f(x)dx=\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C=F[{\phi }^{-1}(x)]+C$，其中${\phi }^{-1}(x)$是$x=\phi (t)$的反函数。常见的三种变量代换如下：

  • 被积函数含有$\sqrt{a^2-x^2}$，令$x=asint(或acost)$
  • 被积函数含有$\sqrt{a^2+x^2}$，令$x=atant$
  • 被积函数含有$\sqrt{x^2-a^2}$，令$x=asect$

• 分步积分法：$\int udv=uv-\int vdu$。

  • 何时用：出现两类函数相乘时使用。
  • 如何用：
    • $\int P_n(x)e^{ax}dx$、$\int P_n(x)sinaxdx$、$\int P_n(x)cosaxdx$：将多项式以外凑进去。
    • $\int P_n(x)lnxdx$、$\int P_n(x)arctanxdx$、$\int P_n(x)arcsinxdx$：将多项式凑近去。
    • $\int e^{ax}sin\beta xdx$、$\int e^{ax}cos\beta xdx$：凑谁都可以。

三类常见可积函数积分

• 有理函数的积分（$R(x)$由$x$加减乘除得到）：$\int R(x)dx$：
  • 一般法（部分分式法）
  • 特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）
• 三角有理式积分（$R(sinx,cosx)$由$sinx$和$cosx$加减乘除得到）：$\int R(sinx,cosx)dx$：
  • 一般方法（万能代换）：令$tan\frac{x}{2}=t$，$\int R(sinx,cosx)dx=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$
  • 特殊方法（三角变形、换元、分部）
    • 若$R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)$，则令$u=cosx$
    • 若$R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)$，则令$u=sinx$
    • 若$R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)$，则令$u=tanx$
• 简单无理函数的积分（开多少次方都可以，但里边必须是一次式比）：$\int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$ ：
  • 一般方法：令$\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$。

定积分

概念

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义且有界：

• 分割：在区间$[a,b]$中任意插入$n-1$个分点$a=x_0<x_1<x_2<...x_{n-1}<x_n=b$，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i],i=1,2,...,n$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$表示第$i$个小区间的长度。
• 求和：在$[x_{i-1},x_i]$取一点$\xi$，作和式${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$，记$\lambda =max[\Delta x_1,\Delta x_2,...\Delta x_n]$。
• 取极限：若极限$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$存在，且此极限不依赖于区间$[a,b]$的分法，也不依赖于点${\xi }_i$的取法，则称$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，并称此极限为$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记为${\int }_a^{b}f(x)dx$，即${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$。

定积分存在的充分条件：

• 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则${\int }_a^{b}f(x)dx$必定存在。
• 若$f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则${\int }_a^{b}f(x)dx$必定存在。
• 若$f(x)$在$[a,b]$上只有有限个第一类间断点，则${\int }_a^{b}f(x)dx$必定存在。

几何意义

• 设${\int }_a^{b}f(x)dx$存在，若在$[a,b]$上$f(x)\ge 0$，则${\int }_a^{b}f(x)dx$的值等于以曲线$t=f(x),x=a,x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。
• 若在$[a,b]$上$f(x)\le 0$，则${\int }_a^{b}f(x)dx$的值等于以曲线$y=f(x),x=a,x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形面积的负值。
• 若在$[a,b]$上$f(x)$的值有正也有负，则${\int }_a^{b}f(x)dx$的值等于$x$轴上方的面积减去$x$轴下方的面积所得之差。

性质

不等式性质：

• 若在区间$[a,b]$上$f(x)\le g(x)$且$a<=b$，则${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$。
• 若$M$及$m$分别是$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值，则$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$。
• $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$。

中值定理：

• 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)(a<\xi <b)$。常称$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的平均值。
• 若$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$不变号，则${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx(a\le \xi \le b)$。

积分上限的函数

变上限的积分${\int }_a^{x}f(t)dt$是其上限$x$的函数，常称之为积分上限函数。

• 如果$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$在$[a,b]$上可导，且$(\Phi (x){)}^{\prime }=f(x)$。
• 如果$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且${\phi }_1(x),{\phi }_2(x)$为可导函数，则$({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}{)}^{\prime }=f[{\phi }_2(x)]\times {\phi }_2^{\prime }(x)-f[{\phi }_1(x)]\times {\phi }_1^{\prime }(x)$。
• 如果$f(x)$在$[-l,l]$上连续，则如果$f(x)$为奇函数，那么${\int }_0^{x}f(t)dt$为奇函数；如果$f(x)$为偶函数，那么${\int }_0^{x}f(t)dt$为偶函数。

定积分的计算

• 莱布尼茨公式：设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$F(x)$为$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数，则有${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$。

• 换元积分法：设$f(x)$在区间$I$上连续，函数$x=\phi (t)$满足下列条件：$\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$； $\phi (t)$在$[\alpha ,\beta ](或[\beta ,\alpha ])$上有连续导数，且$R_{\phi }I$，则${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$。

• 分步积分法：${\int }_b^{a}udv=uv{|}_b^a-{\int }_b^{a}vdu$。

• 利用奇偶性和周期性

  • 设函数$f(x)$为$[-a,a]$上的连续函数（a>0），则${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{l}0,f(x)为奇函数时\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx,f(x)为偶函数时\end{array}$
  • 设$f(x)$是以$T$为周期的连续函数，则对任意给数$a$，总有${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$。

• 利用已知公式:

  • ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx=\{\begin{array}{l}\frac{n-1}{n}\times \frac{n-3}{n-2}\times ...\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2},n为正偶数\\ \frac{n-1}{n}\times \frac{n-3}{n-2}\times ...\times \frac{2}{3},n为大于1的奇数\end{array}$
  • ${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx,其中f(x)连续$

几何应用

平面曲线的面积：

• 若平面域$D$由曲线$y=f(x),y=g(x)(f(x)\ge g(x)),x=a,x=b(a<b)$所围成，则平面区域$D$的面积为$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$。
• 若平面域$D$由曲线$r=r(\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta (\alpha <\beta )$所围成，则其面积为$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$。

旋转体体积：若区域$D$由曲线$y=f(x)(f(x)\ge 0)$和直线$x=a,x=b(0\le a<b)$及$x$轴所围成，则：

• 区域$D$绕$x$轴旋转一周所得到的旋转体的体积为$V_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$。
• 区域$D$绕$y$轴旋转一周所得到的旋转体的体积为$V_y=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$。

曲线弧长：

• $C:y=y(x),a\le x\le b,s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$。
• $C:\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}a\le t\le b,s={\int }_a^b\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$。
• $C:r=r(\theta ),a\le \theta \le b,s={\int }_a^b\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta$。

旋转体侧面积：曲线$y=f(x)(f(x)\ge 0)$和直线$x=a,x=b(0\le a<b)$及$x$轴所围成区域绕$x$轴旋转所得旋转体的侧面积为$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$。

反常积分

无穷区间的反常积分

• 设$f(x)$为$[a,+\infty )$上的连续函数，如果极限$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$存在，则称此极限为函数$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty )$上的反常积分，记作${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$，即${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$。这时也称反常积分${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$发散。
• 设$f(x)$为$(-\infty ,b]$上的连续函数，则可类似的定义函数$f(x)$在无穷区间$(-\infty ,b]$上的反常积分${\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx=\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$。
• 设$f(x)$为$(-\infty ,+\infty )$上的连续函数，如果反常积分${\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx$和${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$都收敛，则称反常积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$收敛，且${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx$；如果${\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx$和${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$至少有一个发散，则称${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$发散。

比较判别法：设$f(x),g(x)$在$[a,+\infty )$上连续，且$0\le f(x)\le g(x)$，则：

• 当${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$收敛时，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛。
• 当${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛时，${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$收敛。

比较判别法的极限形式：设$f(x),g(x)$在$(a,+\infty ]$上非负连续，且$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷），则：

• 当$\lambda \ne 0$时，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$与${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$同敛散。
• 当$\lambda =0$时，若${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$收敛，则${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$也收敛。
• 当$\lambda =+\infty$时，若${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$发散，则${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$也发散。

常用结论：${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{l}p>1,收敛\\ p\le 1,发散\end{array}(a>0)$

无界函数的反常积分

如果函数$f(x)$在点$a$ 的任何一邻域内都无界，那么点$a$称为$f(x)$的瑕点（也称为无界点），无界函数的反常积分也成为瑕积分。

• 设函数$f(x)$在$(a,b]$上连续，点$a$为$f(x)$的瑕点，如果极限$\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$存在，则称此极限为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的反常积分，记作${\int }_a^{b}f(x)dx$，即${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$。这时也称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$发散。
• 设函数$f(x)$在$(a,b]$上连续，点$b$为$f(x)$的瑕点，则可类似的定义函数$f(x)$在无穷区间$[a,b]$上的反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$。
• 设函数$f(x)$在$[a,b]$上除点$c(a<c<b)$外连续，点$c$为函数$f(x)$的瑕点，如果反常积分${\int }_a^{c}f(x)dx$和${\int }_c^{b}f(x)dx$都收敛，则称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛，且${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$。如果反常积分${\int }_a^{c}f(x)dx$和${\int }_c^{b}f(x)dx$至少有一个发散，则称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$发散。

比较判别法：设$f(x),g(x)$在$[a,+\infty )$上连续，且$0\le f(x)\le g(x),x=a$为$f(x)$和$g(x)$的瑕点，则：

• 当${\int }_a^{b}g(x)dx$收敛时，${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛。
• 当${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛时，${\int }_a^{b}g(x)dx$收敛。

比较判别法的极限形式：设$f(x),g(x)$在$(a,b]$上非负连续，且$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷），则：

• 当$\lambda \ne 0$时，${\int }_a^{b}f(x)dx$与${\int }_a^{b}g(x)dx$同敛散。
• 当$\lambda =0$时，若${\int }_a^{b}g(x)dx$收敛，则${\int }_a^{b}f(x)dx$也收敛。
• 当$\lambda =+\infty$时，若${\int }_a^{b}g(x)dx$发散，则${\int }_a^{b}f(x)dx$也发散。

常用结论：

• ${\int }_a^b\frac{1}{(x-a)}dx\{\begin{array}{l}p<1,收敛\\ p\ge 1,发散\end{array}$
• ${\int }_a^b\frac{1}{(b-x)}dx\{\begin{array}{l}p<1,收敛\\ p\ge 1,发散\end{array}$