树与二叉树（二叉树的表示，性质，遍历，还原）

基本术语：

• A（或B）是I的祖先，I是A（或B）的子孙；

• D是I的双亲，I是D的孩子；

• 节点的孩子个数称为节点的度；

• 树中节点的最大度数称为树的度；

• 度大于0的节点称为分支节点，度等于0的节点称为叶节点；

• 定义树根为第一层，则：树的深度（高度）为5；

二叉树：

定义：

树中的每个节点至多有两个孩子，则该树被称为二叉树。

特殊的二叉树：

满二叉树：

高度为h的二叉树，有2^h-1个节点，则为满二叉树。

完全二叉树：

高度为h的树中每个节点都能与高度为h的满二叉树中的节点对应，则该树为完全二叉树。

二叉排序树（二叉搜索树）：

左子树上的所有节点的关键字都小于根节点，右子树上的所有节点的关键字都大于根节点的关键字，且左子树和右子树也各为二叉排序树。

平衡二叉树：

树上任意一个节点的左子树深度和右子树深度相差不超过1。

二叉树的性质：

• 对于非空二叉树，其分支数等于节点数-1（一般树也是这样）。

• 对于非空二叉树，其叶节点数等于度为2的节点数加1。

证明：

设树中度为0,1,2的节点为n0,n1,n2，树中分支总数为B；

可知B=n2*2+n1；

又因为B=n0+n1+n2-1,所以n0=n2+1;

• 对于完全二叉树，假设有n个节点，对于编号大于n/2的都是叶子节点。

二叉树的表示：

对于链式存储结构，

我们用结构体来存储二叉树的每个节点：

每个节点保存该节点的数据以及左右孩子的指针。

代码如下：

typedef struct Node{int Data;//数据域struct Node *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode;

二叉树的遍历：

二叉树有三种遍历方式，如下：

先序（前序）遍历：

按照 根->左->右 的方式；

即先输出根，再递归处理左边，再递归处理右边。

代码如下：

void get(BiTree T){if(T!=NULL){visit(T);//访问根get(T->lchild);//递归处理左边get(T->rclild);//递归处理右边}
}

中序遍历：

按照 左->根->右的顺序。

后序遍历：

按照 左->右->根的顺序。

由遍历序列还原二叉树：

根据二叉树的前序、后序和二叉树的中序遍历组合，便可唯一的还原出二叉树。

由前序和中序还原：

已知前序遍历的第一个元素为树的根节点R；

我们在中序遍历中找出R，则R的左边为左子树，右边为右子树；

由左子树和右子树的节点数量我们也可以在前序遍历序列中找到左子树和右子树；

最后递归处理左右子树即可。