统计信号处理基础 习题解答10-5

题目

通过令

并进行计算来重新推导MMSE估计量。提示：利用结果

解答

首先需要明确的是：

上式是关于观测值x 的函数

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其次需要说明一下这个结果

和教材一样，我们用求期望，需要注意的是，在贝叶斯情况下，是个随机变量，而不是一个确定的值：

其中：

上式是X=x条件下的函数，因此是x的函数，于无关

而

因此，也就是得到了

或者更加通俗一点：

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下面开始证明：

其中：

上式中是x等参数的函数，但已经对θ完成了一次积分，所以肯定不是θ的函数。另外是个估计量，在观察数据x等参数等参数明确情况下具有确定值，也不是θ的函数，因此：

而

上面又用到了中不包含θ，且

而对比，又得到：

因此：

把上面结果带入到中，得到：

上式中，和都是大于等于0的项，因此，如果要使得最小，那么用户可以选择估计量，使得：

在这个情况下：

此时，达到最小值，即：