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目录

一、AVL树的概念

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

2.AVL树的插入

3.AVL树的旋转

4.AVL树的验证

三、AVL树的性能

四、完结撒❀

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一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii

和 E.M.Landis 在 1962 年 发明了一种解决上述问题的方法： 当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均 搜索长度。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

● 它的左右子树都是 AVL 树

● 左右子树高度之差 ( 简称平衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在

O(log2 n) ，搜索时间复杂度 O(log2 n) 。

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲T _data;int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

2.AVL树的插入

AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL 树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//插入相同值return false;}}//找到cur所在位置cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > cur->_kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否//破坏了AVL树的平衡性/*pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负21. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足
AVL树的性质，插入成功2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此
时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理*///更新平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){//二叉树高度没问题，更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){//双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性//二叉树平衡被破坏，需要旋转完成平衡//判断是右单旋还是左单旋还是双旋//右单旋if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//...}//左单旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//...}//左右双旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//...}//右左双旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//...}}else{//理论上不会出现这种状况assert(false);}}return true;
}

3.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，

使之平衡化。根据节点插入位置的不同， AVL 树的旋转分为四种：

1) 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

/*上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void _RotateR(Node Parent)
{// SubL: Parent的左孩子// SubLR: Parent左孩子的右孩子，注意：该Node SubL = Parent->_Left;Node SubLR = SubL->_Right;// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子Parent->_Left = SubLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲if (SubLR)SubLR->_Parent = Parent;// 60 作为 30的右孩子SubL->_Right = Parent;// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲Node Parent = Parent->_Parent;// 更新60的双亲Parent->_Parent = SubL;// 更新30的双亲SubL->_Parent = Parent;// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针if (NULL == Parent){_root = SubL;SubL->_Parent = NULL;}else{// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树if (Parent->_Left == Parent)Parent->_Left = SubL;elseParent->_Right = SubL;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子Parent->_bf = SubL->_bf = 0;
}

2) 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

//左单旋
void LNode(Node* parent)
{/*if (parent == _root){Node* pparent = nullptr;}else{Node* pparent = parent->_parent;}*/Node* pparent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_left = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (pparent){subR->_parent = pparent;if (pparent->_left = parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}}else{_root = subR;subR->_parent = nullptr;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3) 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即： 先对 30 进行左单旋，然后再对 90 进行右单旋 ，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
//行调整
void _RotateLR(Node Parent)
{Node SubL = Parent->_Left;Node SubLR = SubL->_Right;// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf = SubLR->_bf;// 先对30进行左单旋_RotateL(Parent->_Left);// 再对90进行右单旋_RotateR(Parent);if (1 == bf)SubL->_bf = -1;else if (-1 == bf)Parent->_bf = 1;
}

4) 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

//右左双旋
void RLNode(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RNode(parent->_right);LNode(parent);if (bf == 1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{//理论没有该状况assert(false);}
}

总结：

假如以 Parent 为根的子树不平衡，即 Parent 的平衡因子为 2 或者 -2 ，分以下情况考虑

1）Parent 的平衡因子为 2 ，说明 Parent 的右子树高，设 Parent 的右子树的根为 SubR

当 SubR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋

当 SubR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋

2）Parent 的平衡因子为 -2 ，说明 Parent 的左子树高，设 Parent 的左子树的根为 SubL

当 SubL 的平衡因子为 -1 是，执行右单旋

当 SubL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋

旋转完成后，原 Parent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

4.AVL树的验证

AVL 树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证 AVL 树，可以分两步：

        1. 验证其为二叉搜索树

            如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

        2. 验证其为平衡树

            ● 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子 )

            ● 节点的平衡因子是否计算正确

int _size(Node* root)
{return root == nullptr ? 0 : _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1；
}int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr){return 0;}return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}bool _IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr){return true;}int LeftHeight = _Height(root->_left);int RightHeight = _Height(root->_right);if (abs(LeftHeight - RightHeight) >= 2){return false;}//可以顺便再检查一下平衡因子if (abs(LeftHeight - RightHeight) != root->_bf){cout << root->_kv.first << endl;return false;}return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
}

三、AVL树的性能

AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1 ，这

样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 log2 N 。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数 据的个数为静态的 ( 即不会改变 ) ，可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。

四、完结撒❀

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最后我想讲的是，据说点赞的都能找到漂亮女朋友❤