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图卷积网络（Graph Convolutional Network, GCN）

news 文章来源：https://blog.csdn.net/weixin_44012667/article/details/139812818 2024/10/26 8:34:10

图卷积网络（Graph Convolutional Network, GCN）是一种用于处理图结构数据的深度学习模型。GCN编码器的核心思想是通过邻接节点的信息聚合来更新节点表示。

图的表示

一个图 G通常表示为 G=(V,E)，其中：

V 是节点集合，包含 N个节点。
E是边集合，包含图中所有的边。

节点特征矩阵

假设每个节点 i有一个特征向量 $x_i$ （维度为 F），所有节点的特征可以表示为矩阵 $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{N \times F}$ 。

邻接矩阵

图的邻接矩阵 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ 表示图中节点之间的连接关系，其中 $\mathbf{A}_{ij} = 1$ 表示节点 i和节点 j之间有边，反之为 0。

度矩阵

度矩阵 $\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ 是一个对角矩阵，其中 $\mathbf{D}_{ii}$ 表示节点 i的度，即节点 i的邻居数量： $\mathbf{D}_{ii} = \sum_{j} \mathbf{A}_{ij}$

图卷积层

GCN编码器由多个图卷积层组成，每一层的运算可以描述为：

$\mathbf{H}^{(l+1)} = \sigma\left( \mathbf{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{\tilde{A}} \mathbf{\tilde{D}}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{H}^{(l)} \mathbf{W}^{(l)} \right)$

其中：

$\mathbf{\tilde{A}} = \mathbf{A} + \mathbf{I}$ ，即在邻接矩阵A中加上自环（self-loop），其中 I是单位矩阵。
$\mathbf{\tilde{D}}$ 是对应的度矩阵，计算方式与度矩阵 D类似，只不过这里考虑了自环。
$\mathbf{H}^{(l)}$ 是第 l层的节点表示矩阵，初始表示 $\mathbf{H}^{(0)} = \mathbf{X}$ 。
$\mathbf{W}^{(l)}$ 是第 l层的权重矩阵。
σ 是非线性激活函数（例如ReLU）。