定积分定义求极限专题
文章目录
- 定积分定义求极限问题的描述
- 解决方法
- 真题实践(持续更新中,未完结)
定积分定义求极限问题的描述
在定积分定义求极限中,我们可能存在的问题
- 被积函数不会找
- 积分区间不会定(只会[0,1]的)
- 根本不知道“补系数”
- 只会f(i/n)的情况
定积分定义,简单来说就是底*高,无穷累加。
从0到n,均分变为1/n就是底,f(i/n)就是它对应的高,由于均分后已经很微小了,所以这个高只要保证在这样的一个小区间上即可。最后再累加。
上述就是定积分定义的最简单理解
∫ 0 1 f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( i n ) 1 n \int \limits_{0}^{1}f\left(x\right)dx = \lim \limits_{n\rightarrow ∞}\sum \limits_{i = 1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1}{n} 0∫1f(x)dx=n→∞limi=1∑nf(ni)n1
现在待解决的问题就是如何根据后面的无穷项的数列极限,写成前面的定积分的形式。
解决方法
给出方法论:
- 找被积函数在于找变化的部分,将变化的部分写成x
- 确定积分区间,积分区间的确定,就看变化量的极限,它的第一项的极限就是下限,第n项的极限就是它的上限
- 确定底,也就是1/n需不需要补系数,用积分区间/实际项数。比如积分区间是0到1,但是根据规律发现只有偶数,那么它实际项数就是n/2,用(1-0)/(n/2),最后得到2/n,如果原先的系数是1/n,则需要将它的系数改为2/n,并在前面补系数2
补充两点:
1️⃣删去有限项不改变数列极限
2️⃣变化的部分,当然是越简单越好
没看懂很正常,真题实践会逐步掌握
真题实践(持续更新中,未完结)
真题实践部分由浅入深
1. lim n → ∞ 1 n ( s i n 1 n + s i n 2 n + s i n 3 n + . . . s i n n n ) 1.\lim \limits_{n\rightarrow ∞}\frac{1}{n}\left(sin\frac{1}{n} + sin\frac{2}{n} + sin\frac{3}{n} + ...sin\frac{n}{n}\right) 1.n→∞limn1(sinn1+sinn2+sinn3+...sinnn)
解析:
观察可知本题中的变化量是sin里面的数,并且前面给出1/n,大胆使用定积分定义。
1.括号里面的改成sinx,确定了被积函数。
2.积分区间,1/n就是就是0,n/n就是1
在这里非常值得注意的点是,积分区间的确定是根据变化部分确定的,这里可不是sin0和sin1,而是0和1
3.补系数,区间1,一共n项,就是1/n,不需要补系数
答案如下:
∫ 0 1 sin x d x \int \limits_{0}^{1}\sin xdx 0∫1sinxdx
2. lim n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + 1 n + 3 + . . . 1 n + n ) 2.\lim \limits_{n\rightarrow ∞}\left(\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ...\frac{1}{n + n}\right) 2.n→∞lim(n+11+n+21+n+31+...n+n1)
解析:
观察不难发现是分母1,2,3发生变化。我们首先要整理这个式子,让这个式子除了发生变化的量,其他均是常数,故分母同除n,提出一个1/n
lim n → ∞ 1 n ( 1 1 + 1 n + 1 1 + 2 n + 1 1 + 3 n + . . . 1 1 + n n ) \lim \limits_{n\rightarrow ∞}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{3}{n}} + ...\frac{1}{1 + \frac{n}{n}}\right) n→∞limn1(1+n11+1+n21+1+n31+...1+nn1)
1.确定被积函数,把1/n写成x,故被积函数就是1/(1+x)
2.确定区间,1/n是0,n/n是1,积分区间0到1
3.确定系数,区间是1,一共n项,系数1/n,不用补系数
答案如下:
∫ 0 1 1 1 + x d x \int \limits_{0}^{1}\frac{1}{1 + x}dx 0∫11+x1dx
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