数据结构递归（01）汉诺塔经典问题

说明：使用递归时，必须要遵守两个限制条件：

1. 递归存在限制条件，满⾜这个限制条件时，递归不再继续；
2. 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件；

1 汉诺塔（Hanoi Tower）经典问题

1.1 汉诺塔问题描述

汉诺塔（Hanoi Tower）问题是一个经典的递归问题，起源于一个关于印度的传说。问题描述如下：

有一个三脚架，上面有三个从下到上依次递减的圆盘，总共有n个圆盘，这些圆盘最初都放在第一个柱子上，并且每个圆盘上都有不同的大小，使得较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面。任务是将所有圆盘从第一个柱子移动到第三个柱子，同时满足以下规则：

1. 每次只能移动一个圆盘。
2. 每次移动的圆盘必须放在另一个柱子的顶部。
3. 任何时候，较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面。

1.2 汉诺塔问题分析

汉诺塔问题的分析可以通过递归的方式来理解。下面是针对n=1, n=2, n=3时的步骤说明（其中ABC分别对应第一二三个柱子）：

#n=1时：
初始状态     第一步（完成）      
A B C       A B C
1 0 0       0 0 1   #n=2时：
初始状态     第一步       第二步       第三步（完成）
A B C       A B C       A B C       A B C
1 0 0       0 1 0       0 1 0       0 0 1
2 0 0       2 0 0       0 0 2       0 0 2#n=3时：
说明：由n=2时的状态可知，2个盘从A移动到B或C均是可行的，那么这里我们就将1和2堪称整体。
初始状态     第一步       第二步       第三步（完成）
A B C       A B C       A B C       A B C
1 0 0       0 1 0       0 1 0       0 0 1
2 0 0       0 2 0       0 2 0       0 0 2
3 0 0       3 0 0       0 0 3       0 0 3可以看到，这里的第一步和第三步实际上是使用了n=2时的结论。接下来我们把2 3换成出n-1 n之间的关系。
初始状态     第一步       第二步       第三步（完成）
A B C       A B C       A B C       A B C
1 0 0       0 1 0       0 1 0       0 0 1
2 0 0       0 2 0       0 2 0       0 0 2
3 0 0       0 3 0       0 3 0       0 0 3
...         ...         ...         ...
n 0 0       n 0 0       0 0 n       0 0 n

可以看出来，实际上和2与3 的关系是一致的。因此我们使用递归公式的分析进阶思考：

• 对于n个圆盘，将前n-1个圆盘从A柱移动到B柱，使用辅助柱C。
• 将第n个圆盘从A柱移动到C柱。
• 将n-1个圆盘从B柱移动到C柱，使用辅助柱A。

这个递归过程会不断重复，直到所有的圆盘都按照规则成功地移动到目标柱子上。递归的深度是n-1，因为每次移动n-1个圆盘，然后是第n个圆盘，再是n-1个圆盘。总共需要进行2^n - 1次移动才能完成n个圆盘的汉诺塔问题。

1.3 汉诺塔问题 逻辑解决方案

解决汉诺塔问题的方法是递归。对于n个圆盘，解决步骤可以概括为：

1. 将上面的n-1个圆盘从起始柱子移动到辅助柱子（不违反规则）。
2. 将最大的圆盘（第n个圆盘）从起始柱子移动到目标柱子。
3. 将n-1个圆盘从辅助柱子移动到目标柱子（现在最大的圆盘已经在目标柱子上，不违反规则）。

这个过程可以继续递归地应用到n-1个圆盘上，直到n为1，这时问题就变得非常简单，只需将圆盘直接移动到目标柱子上。

2 代码实现

2.1 python代码实现

#!/usr/bin/python3
# -*- coding: UTF-8 -*-def hanoi(n, source, target, auxiliary):if n > 0:# 将n-1个圆盘从source移动到auxiliary，以target作为辅助hanoi(n-1, source, auxiliary, target)# 将第n个圆盘从source移动到targetprint(f"Move disk {n} from {source} to {target}")# 将n-1个圆盘从auxiliary移动到target，以source作为辅助hanoi(n-1, auxiliary, target, source)# 调用函数，将3个圆盘从A柱移动到C柱，B柱作为辅助
hanoi(3, 'A', 'C', 'B')

2.2 C++代码实现

#include <iostream>// 函数声明
void hanoi(int n, char source, char target, char auxiliary);int main() {int numDisks = 3; // 圆盘的数量hanoi(numDisks, 'A', 'C', 'B'); // 将3个圆盘从A柱移动到C柱，B柱作为辅助return 0;
}// 函数定义
void hanoi(int n, char source, char target, char auxiliary) {if (n <= 0) return; // 递归的基本情况// 将n-1个圆盘从source移动到auxiliary，以target作为辅助hanoi(n - 1, source, auxiliary, target);// 将第n个圆盘从source移动到targetstd::cout << "Move disk " << n << " from " << source << " to " << target << std::endl;// 将n-1个圆盘从auxiliary移动到target，以source作为辅助hanoi(n - 1, auxiliary, target, source);
}