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王道计算机组成原理课代表 - 考研计算机第二章数据的表示和运算究极精华总结笔记

news 文章来源：https://blog.csdn.net/qq_43468008/article/details/129376950 2025/1/18 10:47:29

本篇博客是考研期间学习王道课程 传送门 的笔记，以及一整年里对 计算机组成 知识点的理解的总结。希望对新一届的计算机考研人提供帮助！！！

关于对 数据的表示和运算 章节知识点总结的十分全面，涵括了《计算机组成原理》课程里的全部要点（本人来来回回过了三遍视频），其中还陆陆续续补充了许多内容，所以读者可以相信本篇博客对于考研计算机组成原理 “数据的表示和运算” 章节知识点的正确性与全面性；
但如果还有自主命题的学校，还需额外读者自行再观看对应学校的自主命题材料。

计算机组成原理 笔记导航🚥🚥🚥

🥬 第一章计算机系统概述
🥕 第二章数据的表示和运算⇦当前位置🪂
🥪 第三章存储系统
🍊 第四章指令系统
🍒 第五章中央处理器
🍀 第六章总线
🍚 第七章输入输出系统
🍔计算机组成原理复试精简笔记 (加班中...)
🎨 408 全套初复试笔记汇总传送门 🏃‍🏃‍🏃‍

如果本篇文章对大家起到帮助的话，跪求各位帅哥美女们，求赞👍 、求收藏、求关注！
你必考上研究生！我说的，耶稣来了也拦不住！😀😀😀

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食用说明书：
第一遍学习王道课程时，我的笔记只有标题和截图，后来复习发现看只看图片，并不能很快的了解截图中要重点表达的知识点。
在第二遍复习中，我给每一张截图中标记了重点，以及每张图片上方总结了该图片 对应的知识点 以及自己的思考。
最后第三遍，查漏补缺。
所以，我把目录放在博客的前面，就是希望读者可以结合目录结构去更好的学习知识点，之后冲刺复习阶段脑海里可以浮现出该知识结构，做到对每一个知识点熟稔于心！
请读者放心！目录展示的知识点结构是十分合理的，可以放心使用该结构去记忆学习！
注意(⊙o⊙)！，每张图片上面的文字，都是该图对应的知识点总结，方便读者更快理解图片内容。

《计算机组成原理》第2章数据的表示和运算

【考纲内容】 P38 ~

(一) 数制与编码

网课耗时：2 h

进位计数制及其相互转换；
定点数的编码表示；

(二) 运算方法和运算电路

网课耗时：1.5 h

基本运算部件：加法器，算法逻辑单元（ALU)；
加 / 减运算：补码加/减运算器，标志位的生成；
乘 / 除运算：乘/除法运算的基本原理，乘法运算和除法电路的基本结构；

(三) 整数的表示和运算

网课耗时：1.5 h

无符号整数的表示和运算；
带符号整数的表示和运算；

(四) 浮点数的表示和运算

网课耗时：1.5 h

浮点数的表示：IEEE 754标准；
浮点数的加/减运算；

【复习提示】

纵观近几年的真题，不难发现 unsigned、short、int、long、float、double 等在C语言中的表示、运算、溢出判断、隐式类型转换、强制类型转换、IEEE 754浮点数的表示，以及浮点数的运算，都是考研考查的重点,需要牢固掌握。

2.1 数制与编码

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2.1.1 进位计数制与其相互转换

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1. 进位计数法

对于 r进制 来说，r 是基数，rⁱ 是第 i 位数的位权；

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2. 不同进制之间的相互转换

学了r进制，然后学各进制之间的转换，这合理吧！

(1) 任意进制转换为十进制（简单的一批）

以二进制举例：

(11011.1)₂ = (1 * 2⁴) + (1 * 2³) + (0 * 2²) + (1 * 2¹) + (1 * 2⁰) （按 “权” 展开法）

感兴趣可以再去了解课本里的按基值重复相乘（除）法

本类型还可以推广到二进制转换为r进制，方法类似。

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(2) 十进制转换为任意进制

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重点关注十进制转换为二进制

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① 整数十进制转换为二进制

举例：将十进制数123 转为二进制数

重复除以2	得商	取余数
123÷2	61	1（最低位）
61÷2	30	1
30÷2	15	0
15÷2	7	1
7÷2	3	1
3÷2	1	1
1÷2	0	1（最高位）
答案：(123)_十 = (1111011)_二

② 小数十进制转换为二进制

举例：将十进制0.6875 转为二进制

重复乘2	得小数部分	取整数
0.6875×2	0.3750	1（最高位）
0.3750×2	0.7500	0
0.7500×2	0.5000	1
0.5000×2	0.0000	1（最低位）
答案：(0.6875)_十 = (0.1011)_二

③ 补充：特殊分数转换为二进制

举例：

3/100 = 0.03 （分数可以转为小数）

7/16 = (111)₂ × 2^-4 = [0.0111]₂

9/64 = (1001)₂ × 2^-6 = [0.001001]₂

(3) 二进制与八、十六进制数之间的转换

原理：2³ = 8，2⁴ = 16，故三位二进制正好对应一位八进制，四位二进制正好对应 ==一位十六进制；==反之同理。

举例：将二进制 1111000010.01101 分别转为八进制、十六进制数

具体过程看下图（十六进制和八进制差不多过程），答案：(1702.32)_八， (3C2.68)_十六

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3. 真数和机器数

真值：带 “+” 或 “-” 的数；如：+15、-8；
机器数：把符号 “数字化” 的数；如；：0 1111、1 1000；（一定要注意符号位）

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小结

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2.1.2 BCD码

BCD ：Binary-Coded Decimal，用二进制编码的十进制，解决二进制转十进制的问题（快速转换、一一对应）

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1. 8421BCD码

每四位二进制表示一位十进制（有6个冗余状态）；
8、4、2、1分别对应每一位的权值（有权码）；
0000 ~ 1001 分别对应 0 ~ 9，进行加法后若超出该范围，则需 +0110 进行修正；

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2. 余3码

8421码 + (0011)₂ （无权码）

3. 2421码

2、4、2、1分别对应每一位的权值；（有权码）
表示 0 ~ 4 时最高位为0，表示 5 ~ 9 时最高位为1；（避免歧义，例如5：1011 正确；0101 错误）

真值	8421BCD	余3码	2421码
0	0000	0011	0000
1	0001	0100	0001
3	0011	0110	0011
……	……	……	……
8	1000	1011	1110
9	1001	1100	1111
10	0001 0000

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小结

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2.1.3 奇偶校验码

不着急学习这个，学完 2.2.1 无符号数和有符号数再回来看这个

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1. 为什么要校验码？

答：检测错误；

数据传输过程中可能会出现错误，校验码首先就是能发现是否数据出错，其次是纠错！

2. 码距是什么？

码距是指在一个编码体系中，任意两个合法码之间，对应位上编码不同的最大位数（不懂看例子）

二位二进制（此时码距为1）：任意选两个（如：00、10），最多有1位不同。

三位二进制（此时码距为2）：任意选两个（如：000、110），最多有2位不同。

	东	南	西	北
两位二进制	00	01	10	11
三位二进制（采用偶校验）	0 00	1 01	1 10	0 11

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3. 校验码组成

校验码 = 校验位 + 数据位

奇偶校验分为奇校验和偶校验

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4. 奇偶校验码原理

以 “奇校验（校验码有奇数个1）” 举例：

发送方要发送一份8位数据：01010101；

经过“奇校验”处理：1 01010101

① 如果传输过程没出错

接收方收到数据：1 01010101；

接收方“奇校验”发现没错，就将数据解包得到数据位：01010101；

② 如果数据传输过程发送1位错误（随便1位不对，数据位、校验位都可能出错）

接收方收到数据：1 11010101；

当接收方“奇校验”发现有偶数个1，这就不对了，发现错误要求重发！

③ 如果数据传输过程发送2位错误（随便2位不对）

接收方收到数据：1 10010101；

当接收方“奇校验”发现有奇数个1，就发现不出错误！！！

通过例子总结下奇偶校验码的优缺点：

优点：校验位位数少，简单，传输效率高；

缺点：只能发现奇数个错误；

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2.1.4 Hamming 校验码 *

计算机网络：第三章数据链路层 3.2 差错控制

2.1.5 CRC循环冗余校验码 *

计算机网络：第三章数据链路层 3.2 差错控制

2.2 数据的表示

2.2.1 无符号数和有符号数

计算机中参与运算的数分为两大类：无符号数 和 有符号数

1. 无符号整数

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概述（先简单了解，在下面学习中理解这几句话）：

计算机中的数都放在寄存器中，所以称寄存器的位数为机器字长；

无符号数，就是将寄存器中的每一位数都用来存放数值；

当存放有符号数时，需留出位置存放符号；

当机器字长相同时，无符号数与有符号数所对应的 ==数值范围不同。==以机器字长为16位举例：

无符号数的表示范围：0 ~ 65 535

有符号数的表示范围：-32 768 ~ +32 767（对应补码）

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(1) 无符号整数在计算机硬件中如何表示？

假设现有一台计算机，通用寄存器最多能存8位

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(2) 无符号整数的运算

① 无符号整数的加法运算

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② 无符号整数的减法运算

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2. 带符号数

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(1) 带符号整数在计算机硬件中如何表示？

假设现有一台计算机，通用寄存器最多能存8位

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① 原码表示法

原码：带符号的绝对表示

N位原码的表示范围：[1 1……1， 0 1……1] （符号位占1位，剩余的是数值位）

整数范围：[ -(2^n-1 -1), (2^n-1 -1) ]

小数范围：[-(1 - 2^-(n-1)), (1 - 2^-(n-1))]

真数0有两种形式： [+0]_原 = 0, 000；[-0]_原 = 1, 000；（注意！与补码做对比）

	形式（举例：四位原码）	真数（整数）	真数（小数）
最大正数	0 111	7	0.875
最小负数	1 111	-7	-0.875

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原码特点：简单、直观，但是 ==不适合操作数异号的加法运算，==也就是符号位不能参与运算！（补码可以）

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② 补码表示法

原码正数时，补码和原码相同；

原码负数时，除符号位外，各位取反，末位加1；

特点：N位补码表示范围与 N位原码不同；补码在二进制中用来表示负数，解决异号加法问题（符号位可以参与运算）

	-4	-2	-1	0	1	2	4
原码	1 100	1 010	1 001	0 000	0 001	0 010	0 100
补码	1 100	1 110	1 111	0 000	0 001	0 010	0 100

N位补码的表示范围：[ 1 0……0， 0 1……1]

整数范围：[ -2^n-1, 2^n-1 - 1]

小数范围：[ -1, 1 - 2^-(n-1)]

注意！与原码相比，补码的0只有一种表示形式：0000；且规定把 1000 当作 -8

（4位补码）	形式	真数（整数）	真数（小数）
最大正数	0 111	7	0.875
最小负数	1 000	-8	-1

③ 反码表示法

原码正数时，反码和原码相同；

原码负数时，除符号位外，各位取反；

特点：做为 原码 - 反码 - 补码 互相转换的中间计算过程；

N位反码的表示范围与 N位原码相同；

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(2) 带符号数的运算

例题1：补码的加法运算

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例题2：补码的加法运算

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例题3：补码的减法运算

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(3) 原、反、补码的特性比较

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(4) 移码表示法

移码：在补码的基础上，将符号位取反

特点：补码不能判断数值大小，移码可以；注意！移码只能用于表示整数！

N位移码整数的表示范围和补码相同：[ -2^n-1, 2^n-1 - 1]；（真数0只有一种表示形式）

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小结

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2.2.2 数的定点表示

两种方法表示小数点的存在：定点表示和浮点表示；

定点数：小数点固定在某一位置的数；

1. 定点整数和定点小数（纯整数和纯小数）

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2. 数的定点表示

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注意！移码只能用来表示整数！

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2.2.3 数的浮点表示

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1. 浮点数的作用

n 位的定点数能表示的范围有限，可以采用浮点数可以提高数据的表示能力；

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【引例】浮点数的原理类似科学计数法：阶码 + 尾数；

阶码表示数值大小；
尾数反映数值精度；

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2. 浮点数的表示

浮点数的真值：N = M × r ^j ，由阶码 j 和尾数M 两部分组成。其中，M 是尾数，j 是阶码，r 是尾数的基值；

阶码 E 反映浮点数的表示范围，是整数；
尾数 M 反映浮点数的精度，是小数；

举例：

N = 11.0101

= 0.110101 × 2¹⁰

= 1.10101 × 2¹

= 1101.01 × 2^-10

= ……

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3. 规格化

图中，使用 1B = 8bit 的存储空间来存储 b，会发现它最后一位的1存储不下了；

如果把 1 舍弃，那 b 的精度就下降了，可以采用浮点数尾数的规格化就是来解决这样的问题；

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规格化浮点数，就是要求尾数的数值部分的第一位，必须是一个有效值；

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	原码表示尾数	补码表示尾数
正数最大值	0.11 … 1 = (1 - 2^-n)	0.11 … 1 = (1 - 2^-n)
正数最小值	0.10 … 0 = 1/2	0.10 … 0 = 1/2
负数最大值	1.10 … 0 = -1/2	1.01 … 0
负数最小值	1.11 … 1	1.00 … 0 = -1

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【了解】浮点数的表示范围大纲已经删除

运算结果大于最大正数时称为正上溢，小于绝对值最大负数时称为负上溢，正上溢和负上溢统称上溢；

数据一旦产生上溢，计算机必须中断运算操作，进行溢出处理；

当运算结果在0至最小正数之间时称为正下溢，在0至绝对值最小负数之间时称为负下溢，正下溢和负下溢统称下溢；

数据下溢时，浮点数值趋于零，计算机仅将其当作机器零处理；

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小结

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2.2.4 浮点数的标准：IEEE 754

浮点数中，阶码一般以移码的形式表示，现简单回顾下移码的知识点；

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1. 移码的定义

移码最原始的定义为： 移码 = 真值 + 偏置值；

采用不同的偏置值，就会得到不同的移码；（下面例子分别采用偏置值为 128D、127D）

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此时，移码的偏置值 = 127D ，但也出现了一个问题：

例如：-128 的移码 = -1000 0000 + 0111 1111 = 1111 1111 ；

会发现 0111 1111 不够减，那么就会就其变成 1 0111 1111 ；

因为它们加减之后的结果相等于进行一个 2⁸ 的取余运算，所以加一个 1 0000 0000 给被减数，不会有影响还解决了问题；

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2. IEEE 754标准

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例1

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例2

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3. IEEE 754 的表示范围

IEEE 754所能表示的最小绝对值和最大绝对值

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阶码全 1，全 0 的的情况

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小结

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2.3 数据的运算

2.3.1 基本运算部件

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1. ALU的作用、原理

左下侧红框是简易的 ALU 结构，两个输入信号 + 控制信号 = 输出信号；

右下侧是经典的 74181芯片，其中：

( M，S₀，S₁，S₂，S₃) ，是控制信号，M=1为逻辑运算，M=0为算术运算。S₀ - S₃，4bit 可以表示16种运算；
A端和B端，分别是 4bit 的输入端；
F端，4bit 的输出端；
其它未提及的端口，暂时不需要了解；

机器字长，指计算机能同时处理 nbit 运算，实际硬件原理就是 ALU 输入端的位数（例如下图中的 4bit）；

为了硬件之间的协调，寄存器也会对应 ALU 相同的位数；

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2. 电路基础知识

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3. 加法器的实现

① 一位全加器

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② 串行加法器

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③ 并行加法器

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④ 补码加法器

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小结

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2.3.2 定点数的移位运算

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1. 算数移位

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① 原码的算数移位

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② 反码的算数移位

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③ 补码的算数移位

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2. 逻辑移位

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3. 循环移位

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小结

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2.3.3 定点数的加减运算

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2.3.4 定点数的乘除运算

1. 定点数的乘法运算

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(1) 乘法运算的实现思想

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(2) 原码一位乘法

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(3) 补码乘法运算

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小结

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2. 定点数的除法运算

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(1) 除法运算的思想

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(2) 原码除法：恢复余数法

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(3) 原码除法：加减交替法

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(4) 补码除法：加减交替法

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小结

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2.3.5 浮点数的加减运算

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1. 加减运算步骤介绍

① 对阶，规定小阶往大阶靠齐；
② 尾数加减；
③ 规格化
④ 舍入（看具体的舍入规则）；
⑤ 判溢出；

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举例

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2. 强制类型转换

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下图结束了C语言中的定点整数如何进行强制类型转换；

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小结

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2.2.6 数据的存储和排序

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边界对齐，是一种空间换时间的存储方式

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2.4 常见问题和易混淆知识点

1. 如何表示一个数值数据？计算机中的数值数据都是二进制数吗？

在计算机内部，数值数据的表示方法有以下两大类：

① 直接用二进制数表示。

分为有符号数和无符号数，有符号数又分为定点数表示和浮点数表示。无符号数用来表示无符号整数（如地址等信息）。

② 二进制编码的十进制数，一般采用BCD码表示，用来表示整数。

所以，计算机中的数值数据虽然都用二进制表示，但不全是二进制，也有用十进制表示的。

后面一章有关指令类型的内容中，就分别有二进制加法指令和十进制加法指令。

2. 什么称为无符号整数的“溢出” ？

对于无符号定点整数来说，若寄存器位数不够，则计算机运算过程中一般保留低n位，舍弃高位。

这样，会产生以下两种结果：

① 保留的低n位数不能正确表示运算结果。

在这种情况下，意味着运算的结果超出了计算机所能表达的范围，有效数值进到了第n+1位，称此时发生了“溢出”现象。

② 保留的低n位数能正确表达计算结果，即高位的舍去并不影响其运算结果。

3. 如何判断一个浮点数是否是规格化数？

为了使浮点数能尽量多地表示有效位数，一般要求运算结果用规格化数形式表示。

规格化浮点数的尾数小数点后的第一位一定是个非零数。

因此，对于原码编码的尾数来说，只要看尾数的第一位是否为1就行；

对于补码表示的尾数，只要看符号位和尾数最高位是否相反。

需要注意的是，IEEE 754标准的浮点数尾数是用原码编码的。

4. 对于位数相同的定点数和浮点数，可表示的浮点数个数比定点数个数多吗？

不是，可表示的数据个数取决于编码所采用的位数。

编码位数一定，编码出来的数据个数就是一定的。

n位编码只能表示2ⁿ个数，所以对于相同位数的定点数和浮点数来说，可表示的数据个数应该一样多（有时可能由于一个值有两个或多个编码对应，编码个数会有少量差异)。

5. 浮点数如何进行舍入？

舍入方法选择的原则是：

① 尽量使误差范围对称，使得平均误差为0，即有舍有入，以防误差积累。

② 方法要简单，以加快速度。IEEE 754有以下4种舍入方式：

就近舍入：舍入为最近可表示的数，若结果值正好落在两个可表示数的中间，则一般选择舍入结果为偶数。
正向舍入：朝+∞方向舍入，即取右边的那个数。
负向舍入：朝-oo方向舍入，即取左边的那个数。
截去：朝0方向舍入，即取绝对值较小的那个数。

6. 现代计算机中是否要考虑原码加减运算？如何实现？

因为现代计算机中浮点数采用IEEE 754标准，所以在进行两个浮点数的加减运算时，必须考虑原码的加减运算，因为IEEE 754规足浮点数的尾数都用原码表示。

原码的加减运算可以有以下两种实现方式：

转换为补码后，用补码加减法实现，结果再转换为原码。
直接用原码进行加减运算，符号和数值部分分开进行（具体过程见原码加减运算部分）。

1）在计算机中，为什么要采用二进制来表示数据 ?

答案已在本章开头说明；

2）计算机在字长足够的情况下能够精确地表示每个数吗？若不能，请举例说明。

计算机采用二进制来表示数据，在字长足够时，可以表示任何-一-个整数。而二进制表示小数时只能够用1/(2")的和的任意组合表示，即使字长很长，也不可能精确表示出所有小数，只能无限接近。例如0.1就无法用二进制精确地表示。

3）字长相同的情况下，浮点数和定点数的表示范围与精度有什么区别 ?

字长相同时，浮点数取字长的一部分作为阶码，所以表示范围比定点数要大，而取一部分作为阶码也就代表着尾数部位的有效位数减少，而定点数字长的全部位都用来表示数值本身，精度要比同字长的浮点数更大。

4）用移码表示浮点数的阶码有什么好处 ?

浮点数进行加减运算时要比较阶码的大小，移码比较大小更方便。
检验移码的特殊值（О和max）时比较容易。阶码以移码编码时的特殊值如下。0:表示
指数为负无穷大，相当于分数分母无穷大，整个数无穷接近0，在尾数也为О时可用来表示0:尾数不为零表示未正规化的数。max:表示指数正无穷大，若尾数为0，则表示浮点数超出表示范围（正负无穷大);尾数不为0，则表示浮点数运算错误。。

《计算机组成原理》第2章 数据的表示和运算

2.1 数制与编码

2.1.1 进位计数制与其相互转换

2.1.2 BCD码

2.1.3 奇偶校验码

2.1.4 Hamming 校验码 *

2.1.5 CRC循环冗余校验码 *

2.2 数据的表示

2.2.1 无符号数和有符号数

2.2.2 数的定点表示

2.2.3 数的浮点表示

2.2.4 浮点数的标准：IEEE 754

2.3 数据的运算

2.3.1 基本运算部件

2.3.2 定点数的移位运算

2.3.3 定点数的加减运算

2.3.4 定点数的乘除运算

2.3.5 浮点数的加减运算

2.2.6 数据的存储和排序

2.4 常见问题和易混淆知识点

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《计算机组成原理》第2章数据的表示和运算