线性代数|机器学习-P22逐步最小化一个函数

Mit麻省理工教授视频如下：逐步最小化一个函数

1. 概述

主要讲的是无约束情况下的最小值问题。涉及到如下：

• 矩阵求导
• 泰勒公式，函数到向量的转换
• 梯度下降
• 牛顿法梯度下降

2. 泰勒公式

我们之前在高等数学中学过关于f(x)的泰勒展开如下：
定义：$\underset{x\to a}{\lim }{h}_k(x)=0$
$$\begin{array}{c}f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+h_k(x)(x-a{)}^k\end{array}$$

• 那么我们只提取二次项，$x+\Delta x\to x;x\to a$ 可得如下：
  $$\begin{array}{c}f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x+\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2!}\Delta x^2\end{array}$$
• 上面的公式中x为标量，现在我们需要用到向量 x
• $a,b$均为1维列向量，S为对称矩阵时，我们可得得到如下：
  $$\begin{array}{c}{a}^{T}b=c,x^{T}Sx=d\to c,d均为标量\end{array}$$
• 定义如下：
  $$\begin{array}{c}x={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]}^T,f={\left[\begin{array}{cccc}{f}_1& f_2& \cdots & f_n\end{array}\right]}^T\end{array}$$
  $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\nabla F={\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}& \frac{\partial f}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right]}^T\to f^{\prime }(x)\Delta x=(\Delta x{)}^T\nabla F(x)\end{array}$$
• $H_{jk}$为hessian matrix具有对称性
  $$\begin{array}{c}{f}^{\prime \prime }(x)=H_{jk}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_j\cdot \partial x_k}\to \frac{f^{\prime \prime }(x)}{2!}\Delta x^2=\frac{1}{2}(\Delta x{)}^T{H}_{jk}(\Delta x)\end{array}$$
• 整理上述公式可得：
  $$\begin{array}{c}F(x+\Delta x)\approx F(x)+(\Delta x{)}^T\nabla F(x)+\frac{1}{2}(\Delta x{)}^T{H}_{jk}(\Delta x)\end{array}$$

3. 雅可比矩阵

假设有一个m维度向量函数$f(x)={\left[\begin{array}{ccc}{f}_1(x)& f_2(x)& \cdots f_m(x)\end{array}\right]}^T$[列向量],其中
$x={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]}^T$是一个n维输入向量，雅可比矩阵J是一个$m\times n$的矩阵，其元素由函数的偏导数组成：雅可比矩阵第i行第j列表示的是$f_i(x)$对$x_i$的偏导
$$\begin{array}{c}{J}_{ij}=\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}\end{array}$$

• 本质上就是函数值$f_i(x)$对$x_i$的每个元素求导：

• 第一步假设$f_i(x)$是常数，$\frac{\partial f_i(x)}{\partial X}$为分子布局，遵循标量不变，向量拉伸原则

• XY拉伸术，分子布局，X横向拉，Y纵向拉，可得如下：
  $$\begin{array}{c}\frac{\partial f_i(x)}{\partial X}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_n}\end{array}\right]\end{array}$$

• 第二步假设$f(x)$为向量，$\frac{\partial f(x)}{\partial X}$为分子布局，遵循标量不变，向量拉伸原则

• XY拉伸术，分子布局，X横向拉，Y 纵向拉，可得如下：
  $$\begin{array}{c}\mathrm{J}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_n}\\ & & & \\ \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_n}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ & & & \\ \frac{\partial f_m(x)}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m(x)}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_m(x)}{\partial x_n}\end{array}\right]\end{array}$$

• 泰勒公式1阶展开可得：
  $$\begin{array}{c}f(x+\Delta x)=f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x\end{array}$$

• 转换成雅可比矩阵可得：
  $$\begin{array}{c}f(x+\Delta x)=f(x)+{\mathrm{J}}_{jk}\Delta x;{\mathrm{J}}_{jk}=\frac{\partial f_j(x)}{\partial x_k}\end{array}$$

4. 经典牛顿法

4.1 经典牛顿法理论

我们已经知道了函数的二阶泰勒展开表示如下：
$$\begin{array}{c}F(x+\Delta x)\approx F(x)+(\Delta x{)}^T\nabla F(x)+\frac{1}{2}(\Delta x{)}^T{H}_{jk}(\Delta x)\end{array}$$

• 一般如果在$x^{\ast }$处取得最小值，那么其导数为0；现在我们求导可得：
  $$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}\Delta x}=0;\frac{(\Delta x{)}^T\nabla F(x)}{\mathrm{d}\Delta x}=\nabla F(x);\frac{\mathrm{d}\frac{1}{2}(\Delta x{)}^T{H}_{jk}(\Delta x)}{\mathrm{d}\Delta x}=H_{jk}\Delta x;\end{array}$$
  $$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}F(x+\Delta x)}{\mathrm{d}\Delta x}=0+\nabla F(x)+H_{jk}\Delta x=0\end{array}$$
• 当$H_{jk}={\mathrm{J}}_{jk}$可逆时，$\Delta x=x_{k+1}-x_k$可得：
  $$\begin{array}{c}-[H_{jk}{]}^{-1}\nabla F(x)=x_{k+1}-x_k\to x_{k+1}=x_k-[{\mathrm{J}}_{jk}{]}^{-1}\nabla F(x)\end{array}$$
• 我们定义$\nabla F(x)=f(x_k)$,${\mathrm{J}}_{jk}={\mathrm{J}}_{x_k}$
  $$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=x_k-[{\mathrm{J}}_{x_k}{]}^{-1}f(x_k)\end{array}$$

4.2 牛顿迭代法解求方程根

• 已知： $f(x)=x^2-9=0$，用牛顿迭代的方法求解方程的根
• 根据迭代公式可得：$f^{\prime }(x)={\mathrm{J}}_{x_k}=2x,f(x_k)=x_k^2-9$
  $$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=x_k-[{\mathrm{J}}_{x_k}{]}^{-1}f(x_k)\to x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{{\mathrm{J}}_{x_k}}\end{array}$$
• 整理可得：
  $$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=x_k-\frac{x_k^2-9}{2x_k}=\frac{1}{2}{x}_k+\frac{9}{2x_k}\end{array}$$
• 收敛依据：
  判断新的近似值$x_{k+1}$与当前值$x_k$之间的差距是否小于某个值$ϵ=10^{-10}$，如果小于该值则认为收敛，否则继续迭代。
• 我们先设置初始值$x_0=2$可得$x_1$：
  $$\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{2}{x}_0+\frac{9}{2x_0}=3.25;\end{array}$$
• 继续迭代得 $x_2$
  $$\begin{array}{c}{x}_2=\frac{1}{2}{x}_1+\frac{9}{2x_1}=3.0096153846153846;\end{array}$$
• 继续迭代得 $x_3$
  $$\begin{array}{c}{x}_3=\frac{1}{2}{x}_2+\frac{9}{2x_2}=3.000015360039322；\end{array}$$
• 继续迭代得 $x_4$
  $$\begin{array}{c}{x}_4=\frac{1}{2}{x}_3+\frac{9}{2x_3}=3.0000000000393214；\end{array}$$
• 可得 $x^2-9=0$的解为 $x_1^{\ast }=3$,同理初始化为 $x_0=-2$ 可得 $x_2^{\ast }=-3$

4.3 牛顿迭代法解求方程根 Python

• 代码： Python代码如下：

def newton_raphson(f, f_prime, x0, tol=1e-10, max_iter=100):x = x0for i in range(max_iter):fx = f(x)fpx = f_prime(x)# Newton-Raphson iterationx_new = x - fx / fpxprint(f"Iteration {i + 1}: x = {x_new}")if abs(x_new - x) < tol:return x_newx = x_newraise ValueError("Newton-Raphson method did not converge")# Define the function and its first derivative
f = lambda x: x ** 2 - 9
f_prime = lambda x: 2 * x# Initial guesses
initial_guesses = [2, -2]# Find the roots
for x0 in initial_guesses:root = newton_raphson(f, f_prime, x0)print(f"The root starting from {x0} is: {root}")

• 运行结果：

Iteration 1: x = 3.25
Iteration 2: x = 3.0096153846153846
Iteration 3: x = 3.000015360039322
Iteration 4: x = 3.0000000000393214
Iteration 5: x = 3.0
The root starting from 2 is: 3.0
Iteration 1: x = -3.25
Iteration 2: x = -3.0096153846153846
Iteration 3: x = -3.000015360039322
Iteration 4: x = -3.0000000000393214
Iteration 5: x = -3.0
The root starting from -2 is: -3.0

5. 梯度下降和经典牛顿法

对于无约束问题的梯度下降，我们一般有两种方法：

5.1 线搜索方法

运用泰勒一阶信息，迭代方向为负梯度方向：

• 迭代方程：
  $$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=x_k+{\alpha }_k{p}_k\end{array}$$
• 方向$p_k$：负梯度方向$-\nabla F$
• 步长： ${\alpha }_k=s_k$，深度学习中叫学习率
• 更新后的方程如下：
  $$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=x_k-s_k\nabla F\end{array}$$

5.2 经典牛顿法

运用泰勒二阶信息，迭代方向为牛顿方向：迭代步长为${\alpha }_1=1$

• 迭代方程为,hessian matrix-> $H_{jk}$可逆：
  $$\begin{array}{c}{x}_{k+1}=x_k-[H_{jk}{]}^{-1}\nabla F(x)\end{array}$$
• 经典牛顿法为二次性收敛，速度非常快，具体分析请参考如下博客
  [优化算法]经典牛顿法

6. 凸优化问题

6.1 约束问题

我们定义凸函数为$f(x)$，凸集为 $\mathrm{K}$,我们的目的是为了求得凸函数$f(x)$的最小值
$$\begin{array}{c}\underset{x\in K}{\min }f(x)，\mathrm{K}:Ax=b\end{array}$$

• $f(x)$表示的是所有在碗内部上的和碗内表面上的点
• 求的是在碗内表面的上的最小值，碗的形状就是约束条件$Ax=b$
  

6.1 凸集组合

• 如果$x_1,x_2$均在凸集里面，则由$x_1,x_2$组成的直线L在凸集里面
  
• 如果$x_1,x_2$分别在不同的凸集里面，则由$x_1,x_2$组成的直线L不在凸集里面
  
• 小结：合并图集里面组合的直线不在凸集里面。
• 如果$x_1,x_2$都在不同的凸集里面的交集里面，则由$x_1,x_2$组成的直线L在凸集中
  
• 假设我们有两个凸函数$F_1(x),F_2(x)$,我们定义如下：
  $$\begin{array}{c}\min (x)=\min [F_1(x),F_2(x)];\max (x)=\max [F_1(x),F_2(x)];\end{array}$$
• 如果两个凸集相交，那么相交的凸集最大值，最小值如下：
  $$\begin{array}{c}\min (x)=\min [F_1(x),F_2(x)]->非凸；\max (x)=\max [F_1(x),F_2(x)]->凸;\end{array}$$
• 凸函数判断
  $$\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}\ge 0\end{array}$$