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概率论原理精解【3】

文章目录

  • 向量值
    • 向量值函数导数
    • 对称矩阵
      • 定义
      • 性质
      • 例子
      • 应用
    • 向量值理论基础
      • 定义
      • 性质
      • 应用
      • 示例
    • 向量值函数的导数
      • 定义
      • 性质
      • 应用

向量值

向量值函数导数

  • D n ⊂ R n , 向量值函数 f : D n → R m D^n \subset R^n,向量值函数f:D^n\rightarrow R^m DnRn,向量值函数f:DnRm
    1. 向量值函数 f = ( f 1 , f 2 , . . . , f m ) T ,称 f i 为坐标函数 2. 复合函数 f i : π i ∘ f , i = 1 , 2 , . . . , m π i : R m → R , x → x i 为坐标映射。 3. f i : D n → R 的导数定义为: f ˙ i ( x ) = d d x f i ( x ) = ( ∂ ∂ x 1 f i ( x ) , ∂ ∂ x 2 f i ( x ) , . . . . ∂ ∂ x n f i ( x ) ) 4. f ˙ ( x ) = ∂ ∂ x f ( x ) = ( d d x f 1 ( x ) d d x f 2 ( x ) . . . d d x f m ( x ) ) = ( ∂ ∂ x 1 f 1 ( x ) ∂ ∂ x 2 f 1 ( x ) . . . ∂ ∂ x n f 1 ( x ) ∂ ∂ x 1 f 2 ( x ) ∂ ∂ x 2 f 2 ( x ) . . . ∂ ∂ x n f 2 ( x ) . . . . . . . . . ∂ ∂ x 1 f m ( x ) ∂ ∂ x 2 f m ( x ) . . . ∂ ∂ x n f m ( x ) ) m × n 1.向量值函数f=(f_1,f_2,...,f_m)^T,称f_i为坐标函数 \\2.复合函数f_i:\pi_i \circ f,i=1,2,...,m \\\pi_i:R^m\rightarrow R,x \rightarrow x_i为坐标映射。 \\3.f_i:D^n \rightarrow R的导数定义为: \\\dot f_i(x)=\frac d {dx}f_i(x)=(\frac {\partial} {\partial x_1}f_i(x),\frac {\partial} {\partial x_2}f_i(x),....\frac {\partial} {\partial x_n}f_i(x)) \\4.\dot f(x)=\frac {\partial} {\partial x}f(x)=\begin{pmatrix} \frac d {dx}f_1(x) \\ \frac d {dx}f_2(x)\\ ...\\ \frac d {dx}f_m(x) \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix} \frac {\partial} {\partial x_1}f_1(x)& \frac {\partial} {\partial x_2}f_1(x)& ...&\frac {\partial} {\partial x_n}f_1(x) \\ \frac {\partial} {\partial x_1}f_2(x)& \frac {\partial} {\partial x_2}f_2(x)& ...&\frac {\partial} {\partial x_n}f_2(x) \\ ... & ...&...\\ \frac {\partial} {\partial x_1}f_m(x)& \frac {\partial} {\partial x_2}f_m(x)& ...&\frac {\partial} {\partial x_n}f_m(x) \\ \end{pmatrix}_{m \times n} 1.向量值函数f=(f1,f2,...,fm)T,称fi为坐标函数2.复合函数fi:πif,i=1,2,...,mπi:RmR,xxi为坐标映射。3.fi:DnR的导数定义为:f˙i(x)=dxdfi(x)=(x1fi(x),x2fi(x),....xnfi(x))4.f˙(x)=xf(x)= dxdf1(x)dxdf2(x)...dxdfm(x) = x1f1(x)x1f2(x)...x1fm(x)x2f1(x)x2f2(x)...x2fm(x)............xnf1(x)xnf2(x)xnfm(x) m×n
  • 向量值函数 f : R 3 → R 2 向量值函数f:R^3\rightarrow R^2 向量值函数fR3R2 f ( x , y , z ) = f(x,y,z)= f(x,y,z)=
    ( 7 x 5 − 3 y 3 c o s z 8 x 7 + e y z ) m = 2 , n = 3 , f 的导数 = ( 35 x 4 9 y 2 c o s z 3 y 3 s i n z 56 x 6 e y z e y ) 2 × 3 \begin{pmatrix} \\7x^5-3y^3cosz \\8x^7+e^yz \end{pmatrix} \\m=2,n=3,f的导数= \\\begin{pmatrix} \\35x^4 & 9y^2cosz & 3y^3sinz \\56x^6 & e^yz & e^y \end{pmatrix}_{2\times 3} 7x53y3cosz8x7+eyz m=2,n=3,f的导数= 35x456x69y2coszeyz3y3sinzey 2×3
  • a = ( a 1 , a 2 . . . , a n ) T 是常数向量, x = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) T 是变量 a=(a_1,a_2...,a_n)^T是常数向量,x=(x_1,x_2,...x_n)^T是变量 a=(a1,a2...,an)T是常数向量,x=(x1,x2,...xn)T是变量
    ∂ ( a T x ) ∂ ( x ) = ∂ ( x T a ) ∂ ( x ) = a T \frac {\partial(a^Tx)} {\partial(x)}=\frac {\partial(x^Ta)} {\partial(x)}=a^T (x)(aTx)=(x)(xTa)=aT
  • 若 A = ( a i j ) m × n 是常数矩阵 , x = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) T 是变量,则 若A=(a_{ij})_{m \times n}是常数矩阵,x=(x_1,x_2,...x_n)^T是变量,则 A=(aij)m×n是常数矩阵,x=(x1,x2,...xn)T是变量,则
    ∂ ( A x ) ∂ ( x ) = A \frac {\partial(Ax)} {\partial(x)}=A (x)(Ax)=A
  • 若 A = ( a i j ) m × n 是常数矩阵 ( 不要求对称 ) , x = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) T 是变量,则 若A=(a_{ij})_{m \times n}是常数矩阵(不要求对称),x=(x_1,x_2,...x_n)^T是变量,则 A=(aij)m×n是常数矩阵(不要求对称)x=(x1,x2,...xn)T是变量,则
    ∂ ( x T A x ) ∂ ( x ) = x T ( A + A T ) , A 对称时, ∂ ( x T A x ) ∂ x = 2 x T A \frac {\partial(x^TAx)} {\partial(x)} = x^T(A+A^T),A对称时,\frac {\partial(x^TAx)} {\partial x}=2x^TA (x)(xTAx)=xT(A+AT),A对称时,x(xTAx)=2xTA

对称矩阵

对称矩阵(Symmetric Matrix)是一个方阵,其满足矩阵的转置等于它本身,即对于任意的矩阵元素 a i j a_{ij} aij,都有 a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij=aji。这意味着矩阵沿主对角线是对称的。在数学中,特别是线性代数、矩阵理论和统计学等领域,对称矩阵有着广泛的应用。

定义

A A A是一个 n × n n \times n n×n的矩阵,如果满足条件 A T = A A^T = A AT=A(其中 A T A^T AT A A A的转置矩阵),则称 A A A为对称矩阵。

性质

  1. 对角线上的元素都是实数:因为 a i i = a i i T = a i i a_{ii} = a_{ii}^T = a_{ii} aii=aiiT=aii,所以对角线上的元素不变。
  2. 关于主对角线对称 a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij=aji,即矩阵的任意元素关于主对角线对称。
  3. 特征值都是实数:对称矩阵的所有特征值都是实数,且其特征向量可以选择为正交的。
  4. 可以对角化:对称矩阵可以通过相似变换对角化,即存在一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P1AP是对角矩阵。
  5. 在二次型中的应用:对称矩阵在二次型理论中起着重要作用,因为任意二次型都可以表示为一个对称矩阵的二次形式。

例子

A = ( 2 3 4 3 0 5 4 5 6 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} A= 234305456

由于 A T = A A^T = A AT=A(可以通过验证每个元素 a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij=aji来确认),所以 A A A是一个对称矩阵。

应用

对称矩阵在物理、工程、统计学等领域有着广泛的应用。例如,在物理学中,许多物理量(如应力、应变、电势等)的矩阵表示都是对称的;在统计学中,协方差矩阵就是一个对称矩阵,它描述了多个随机变量之间的线性关系。此外,在数值分析和机器学习等领域,对称矩阵的对角化也是常用的技术之一。

向量值理论基础

向量值函数是数学中的一个重要概念,特别是在多元微积分和向量分析中。它是指一个函数,其输出是一个向量,而不是一个单一的标量值。这种函数通常用于描述在多维空间中随时间或其他变量变化的量。

定义

向量值函数可以定义为:

r ( t ) = ⟨ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ⟩ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle r(t)=x(t),y(t),z(t)⟩

其中, t t t 是一个实数变量(通常是时间),而 x ( t ) x(t) x(t) y ( t ) y(t) y(t) z ( t ) z(t) z(t) 是关于 t t t 的三个实值函数,分别表示向量在三维空间中的 x x x y y y z z z 分量。

性质

向量值函数具有一些重要的性质,包括:

  1. 可加性:如果 r ( t ) \mathbf{r}(t) r(t) s ( t ) \mathbf{s}(t) s(t) 是两个向量值函数,则它们的和 r ( t ) + s ( t ) \mathbf{r}(t) + \mathbf{s}(t) r(t)+s(t) 也是一个向量值函数,其分量为对应分量之和。

  2. 数乘:对于任意实数 k k k k r ( t ) k\mathbf{r}(t) kr(t) 也是一个向量值函数,其分量为原函数分量的 k k k 倍。

  3. 导数:向量值函数关于其变量的导数(如果存在)是一个新的向量值函数,其分量为原函数各分量关于该变量的导数。

  4. 积分:向量值函数也可以进行积分运算,得到的结果是一个向量值函数(定积分)或一个向量场(不定积分或曲线积分)。

应用

向量值函数在物理学、工程学、计算机科学和经济学等多个领域都有广泛的应用。以下是一些例子:

  1. 物理学:在物理学中,向量值函数常用于描述质点的位置、速度、加速度等物理量。例如,质点的位置随时间变化的函数就是一个向量值函数。

  2. 工程学:在工程学中,向量值函数可用于描述机械系统的位移、速度、加速度以及力、力矩等物理量。此外,它们还用于分析电路中的电流和电压等。

  3. 计算机科学:在计算机图形学和动画中,向量值函数用于描述物体的运动轨迹、旋转和变形等。

  4. 经济学:在经济学中,向量值函数可用于描述多个经济变量的变化关系,如供需关系、价格变动等。

示例

考虑一个简单的例子,一个质点在三维空间中沿直线运动,其位置随时间变化的函数为:

r ( t ) = ⟨ t , 2 t , 3 t ⟩ \mathbf{r}(t) = \langle t, 2t, 3t \rangle r(t)=t,2t,3t

这个向量值函数表示质点在 x x x y y y z z z 方向上的位移分别是 t t t 2 t 2t 2t 3 t 3t 3t。对这个函数求导,我们得到质点的速度向量:

r ′ ( t ) = ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩ \mathbf{r}^{\prime}(t) = \langle 1, 2, 3 \rangle r(t)=1,2,3

这表明质点在每个方向上的速度都是恒定的,且速度向量与 t t t 无关。

向量值函数的导数

也称为向量函数的导数或向量场的导数,是多元微积分中的一个重要概念。它描述了向量值函数如何随着其输入变量的变化而变化。

定义

设有一个向量值函数 r ( t ) = ⟨ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ⟩ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle r(t)=x(t),y(t),z(t)⟩,其中 t t t 是实数变量, x ( t ) x(t) x(t) y ( t ) y(t) y(t) z ( t ) z(t) z(t) 是关于 t t t 的实值函数。向量值函数 r ( t ) \mathbf{r}(t) r(t) 的导数定义为:

r ′ ( t ) = lim ⁡ Δ t → 0 r ( t + Δ t ) − r ( t ) Δ t \mathbf{r}^{\prime}(t) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} r(t)=Δt0limΔtr(t+Δt)r(t)

这可以进一步展开为:

r ′ ( t ) = lim ⁡ Δ t → 0 ⟨ x ( t + Δ t ) , y ( t + Δ t ) , z ( t + Δ t ) ⟩ − ⟨ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ⟩ Δ t \mathbf{r}^{\prime}(t) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{\langle x(t + \Delta t), y(t + \Delta t), z(t + \Delta t) \rangle - \langle x(t), y(t), z(t) \rangle}{\Delta t} r(t)=Δt0limΔtx(t+Δt),y(t+Δt),z(t+Δt)⟩x(t),y(t),z(t)⟩

= lim ⁡ Δ t → 0 ⟨ x ( t + Δ t ) − x ( t ) Δ t , y ( t + Δ t ) − y ( t ) Δ t , z ( t + Δ t ) − z ( t ) Δ t ⟩ = \lim_{{\Delta t \to 0}} \left\langle \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}, \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}, \frac{z(t + \Delta t) - z(t)}{\Delta t} \right\rangle =Δt0limΔtx(t+Δt)x(t),Δty(t+Δt)y(t),Δtz(t+Δt)z(t)

= ⟨ x ′ ( t ) , y ′ ( t ) , z ′ ( t ) ⟩ = \langle x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t) \rangle =x(t),y(t),z(t)⟩

其中 x ′ ( t ) x^{\prime}(t) x(t) y ′ ( t ) y^{\prime}(t) y(t) z ′ ( t ) z^{\prime}(t) z(t) 分别是 x ( t ) x(t) x(t) y ( t ) y(t) y(t) z ( t ) z(t) z(t) 关于 t t t 的导数。

性质

  1. 线性性:如果 r ( t ) \mathbf{r}(t) r(t) s ( t ) \mathbf{s}(t) s(t) 是向量值函数,且 a a a b b b 是常数,则

    ( a r + b s ) ′ ( t ) = a r ′ ( t ) + b s ′ ( t ) (a\mathbf{r} + b\mathbf{s})^{\prime}(t) = a\mathbf{r}^{\prime}(t) + b\mathbf{s}^{\prime}(t) (ar+bs)(t)=ar(t)+bs(t)

  2. 乘积法则(对于标量函数和向量值函数的乘积):如果 f ( t ) f(t) f(t) 是标量函数, r ( t ) \mathbf{r}(t) r(t) 是向量值函数,则

    ( f r ) ′ ( t ) = f ′ ( t ) r ( t ) + f ( t ) r ′ ( t ) (f\mathbf{r})^{\prime}(t) = f^{\prime}(t)\mathbf{r}(t) + f(t)\mathbf{r}^{\prime}(t) (fr)(t)=f(t)r(t)+f(t)r(t)

    注意,这里的乘积是标量与向量的乘积,结果仍为向量。

  3. 链式法则:如果 u = g ( t ) u = g(t) u=g(t) 是一个可微函数,且 r ( u ) \mathbf{r}(u) r(u) 是一个向量值函数,则复合函数 r ( g ( t ) ) \mathbf{r}(g(t)) r(g(t)) 的导数为

    d d t r ( g ( t ) ) = r ′ ( g ( t ) ) ⋅ g ′ ( t ) \frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t)) = \mathbf{r}^{\prime}(g(t)) \cdot g^{\prime}(t) dtdr(g(t))=r(g(t))g(t)

    其中 r ′ ( g ( t ) ) \mathbf{r}^{\prime}(g(t)) r(g(t)) 是向量值函数在 g ( t ) g(t) g(t) 处的导数,而 g ′ ( t ) g^{\prime}(t) g(t) g ( t ) g(t) g(t) 的导数,这里的乘法是标量与向量的乘法。

应用

向量值函数的导数在物理学、工程学以及许多其他领域都有广泛应用。例如,在物理学中,它可以用来描述质点的速度(位置向量的导数)和加速度(速度向量的导数)。在工程学中,它可以用来分析曲线的切线方向和曲率等几何特性。

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