概率论原理精解【3】

向量值

向量值函数导数

• $D^n\subset R^n,向量值函数f:D^n\to R^m$
  $$\begin{gathered} 1.向量值函数f=(f_1,f_2,...,f_m{)}^T，称f_i为坐标函数 \\ 2.复合函数f_i:{\pi }_i\circ f,i=1,2,...,m \\ {\pi }_i:R^m\to R,x\to x_i为坐标映射。 \\ 3.f_i:D^n\to R的导数定义为： \\ {\dot{f}}_i(x)=\frac{d}{dx}{f}_i(x)=(\frac{\partial }{\partial x_1}{f}_i(x),\frac{\partial }{\partial x_2}{f}_i(x),....\frac{\partial }{\partial x_n}{f}_i(x)) \\ 4.\dot{f}(x)=\frac{\partial }{\partial x}f(x)=\left(\begin{array}{c}\frac{d}{dx}{f}_1(x)\\ \frac{d}{dx}{f}_2(x)\\ ...\\ \frac{d}{dx}{f}_m(x)\end{array}\right) \\ ={\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial }{\partial x_1}{f}_1(x)& \frac{\partial }{\partial x_2}{f}_1(x)& ...& \frac{\partial }{\partial x_n}{f}_1(x)\\ \frac{\partial }{\partial x_1}{f}_2(x)& \frac{\partial }{\partial x_2}{f}_2(x)& ...& \frac{\partial }{\partial x_n}{f}_2(x)\\ ...& ...& ...& \\ \frac{\partial }{\partial x_1}{f}_m(x)& \frac{\partial }{\partial x_2}{f}_m(x)& ...& \frac{\partial }{\partial x_n}{f}_m(x)\end{array}\right)}_{m\times n} \end{gathered}$$
• $向量值函数f：R^3\to R^2$为$f(x,y,z)=$
  $$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}\\ 7x^5-3y^{3}cosz\\ 8x^7+e^{y}z\end{array}\right) \\ m=2,n=3,f的导数= \\ {\left(\begin{array}{ccc}& & \\ 35x^4& 9y^{2}cosz& 3y^{3}sinz\\ 56x^6& e^{y}z& e^y\end{array}\right)}_{2\times 3} \end{gathered}$$
• $a=(a_1,a_2...,a_n{)}^T是常数向量，x=(x_1,x_2,...x_n{)}^T是变量$
  $\frac{\partial (a^{T}x)}{\partial (x)}=\frac{\partial (x^{T}a)}{\partial (x)}=a^T$
• $若A=(a_{ij}{)}_{m\times n}是常数矩阵,x=(x_1,x_2,...x_n{)}^T是变量，则$
  $\frac{\partial (Ax)}{\partial (x)}=A$
• $若A=(a_{ij}{)}_{m\times n}是常数矩阵(不要求对称)，x=(x_1,x_2,...x_n{)}^T是变量，则$
  $\frac{\partial (x^{T}Ax)}{\partial (x)}=x^T(A+A^T),A对称时，\frac{\partial (x^{T}Ax)}{\partial x}=2x^{T}A$

对称矩阵

对称矩阵（Symmetric Matrix）是一个方阵，其满足矩阵的转置等于它本身，即对于任意的矩阵元素$a_{ij}$，都有$a_{ij}=a_{ji}$。这意味着矩阵沿主对角线是对称的。在数学中，特别是线性代数、矩阵理论和统计学等领域，对称矩阵有着广泛的应用。

定义

设$A$是一个$n\times n$的矩阵，如果满足条件$A^T=A$（其中$A^T$是$A$的转置矩阵），则称$A$为对称矩阵。

性质

1. 对角线上的元素都是实数：因为$a_{ii}=a_{ii}^T=a_{ii}$，所以对角线上的元素不变。
2. 关于主对角线对称：$a_{ij}=a_{ji}$，即矩阵的任意元素关于主对角线对称。
3. 特征值都是实数：对称矩阵的所有特征值都是实数，且其特征向量可以选择为正交的。
4. 可以对角化：对称矩阵可以通过相似变换对角化，即存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
5. 在二次型中的应用：对称矩阵在二次型理论中起着重要作用，因为任意二次型都可以表示为一个对称矩阵的二次形式。

例子

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 3& 0& 5\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$$

由于$A^T=A$（可以通过验证每个元素$a_{ij}=a_{ji}$来确认），所以$A$是一个对称矩阵。

应用

对称矩阵在物理、工程、统计学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，许多物理量（如应力、应变、电势等）的矩阵表示都是对称的；在统计学中，协方差矩阵就是一个对称矩阵，它描述了多个随机变量之间的线性关系。此外，在数值分析和机器学习等领域，对称矩阵的对角化也是常用的技术之一。

向量值理论基础

向量值函数是数学中的一个重要概念，特别是在多元微积分和向量分析中。它是指一个函数，其输出是一个向量，而不是一个单一的标量值。这种函数通常用于描述在多维空间中随时间或其他变量变化的量。

定义

向量值函数可以定义为：

$$\mathbf{r}(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩$$

其中，$t$ 是一个实数变量（通常是时间），而 $x(t)$、$y(t)$ 和 $z(t)$ 是关于 $t$ 的三个实值函数，分别表示向量在三维空间中的 $x$、$y$ 和 $z$ 分量。

性质

向量值函数具有一些重要的性质，包括：

1. 可加性：如果 $\mathbf{r}(t)$ 和 $\mathbf{s}(t)$ 是两个向量值函数，则它们的和 $\mathbf{r}(t)+\mathbf{s}(t)$ 也是一个向量值函数，其分量为对应分量之和。

2. 数乘：对于任意实数 $k$，$k\mathbf{r}(t)$ 也是一个向量值函数，其分量为原函数分量的 $k$ 倍。

3. 导数：向量值函数关于其变量的导数（如果存在）是一个新的向量值函数，其分量为原函数各分量关于该变量的导数。

4. 积分：向量值函数也可以进行积分运算，得到的结果是一个向量值函数（定积分）或一个向量场（不定积分或曲线积分）。

应用

向量值函数在物理学、工程学、计算机科学和经济学等多个领域都有广泛的应用。以下是一些例子：

1. 物理学：在物理学中，向量值函数常用于描述质点的位置、速度、加速度等物理量。例如，质点的位置随时间变化的函数就是一个向量值函数。

2. 工程学：在工程学中，向量值函数可用于描述机械系统的位移、速度、加速度以及力、力矩等物理量。此外，它们还用于分析电路中的电流和电压等。

3. 计算机科学：在计算机图形学和动画中，向量值函数用于描述物体的运动轨迹、旋转和变形等。

4. 经济学：在经济学中，向量值函数可用于描述多个经济变量的变化关系，如供需关系、价格变动等。

示例

考虑一个简单的例子，一个质点在三维空间中沿直线运动，其位置随时间变化的函数为：

$$\mathbf{r}(t)=⟨t,2t,3t⟩$$

这个向量值函数表示质点在 $x$、$y$ 和 $z$ 方向上的位移分别是 $t$、$2t$ 和 $3t$。对这个函数求导，我们得到质点的速度向量：

$${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=⟨1,2,3⟩$$

这表明质点在每个方向上的速度都是恒定的，且速度向量与 $t$ 无关。

向量值函数的导数

也称为向量函数的导数或向量场的导数，是多元微积分中的一个重要概念。它描述了向量值函数如何随着其输入变量的变化而变化。

定义

设有一个向量值函数 $\mathbf{r}(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩$，其中 $t$ 是实数变量，$x(t)$、$y(t)$ 和 $z(t)$ 是关于 $t$ 的实值函数。向量值函数 $\mathbf{r}(t)$ 的导数定义为：

$${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}$$

这可以进一步展开为：

$${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{⟨x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z(t+\Delta t)⟩-⟨x(t),y(t),z(t)⟩}{\Delta t}$$

$$=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }⟨\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t},\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t},\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t}⟩$$

$$=⟨x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)⟩$$

其中 $x^{\prime }(t)$、$y^{\prime }(t)$ 和 $z^{\prime }(t)$ 分别是 $x(t)$、$y(t)$ 和 $z(t)$ 关于 $t$ 的导数。

性质

1. 线性性：如果 $\mathbf{r}(t)$ 和 $\mathbf{s}(t)$ 是向量值函数，且 $a$ 和 $b$ 是常数，则

   $$(a\mathbf{r}+b\mathbf{s}{)}^{\prime }(t)=a{\mathbf{r}}^{\prime }(t)+b{\mathbf{s}}^{\prime }(t)$$

2. 乘积法则（对于标量函数和向量值函数的乘积）：如果 $f(t)$ 是标量函数，$\mathbf{r}(t)$ 是向量值函数，则

   $$(f\mathbf{r}{)}^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)\mathbf{r}(t)+f(t){\mathbf{r}}^{\prime }(t)$$

   注意，这里的乘积是标量与向量的乘积，结果仍为向量。

3. 链式法则：如果 $u=g(t)$ 是一个可微函数，且 $\mathbf{r}(u)$ 是一个向量值函数，则复合函数 $\mathbf{r}(g(t))$ 的导数为

   $$\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))={\mathbf{r}}^{\prime }(g(t))\cdot g^{\prime }(t)$$

   其中 ${\mathbf{r}}^{\prime }(g(t))$ 是向量值函数在 $g(t)$ 处的导数，而 $g^{\prime }(t)$ 是 $g(t)$ 的导数，这里的乘法是标量与向量的乘法。

应用

向量值函数的导数在物理学、工程学以及许多其他领域都有广泛应用。例如，在物理学中，它可以用来描述质点的速度（位置向量的导数）和加速度（速度向量的导数）。在工程学中，它可以用来分析曲线的切线方向和曲率等几何特性。