优选算法之二分查找（上）

目录

一、二分查找

1.题目链接：704. 二分查找

2.题目描述：

3.算法流程：

4.算法代码：

二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 

1.题目链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

2.题目描述：

3.算法流程:

4.算法代码：

三、x的平方根

1.题目链接：69. x 的平方根 

2.题目描述：

3.解法一（暴力解法）

🌴算法思路：

🌴算法代码：

4.解法二（二分查找算法）

🌴算法思路：

🌴算法代码：

四、搜索插入位置

1.题目链接：35. 搜索插入位置

2.题目描述：

3.解法（二分查找算法）

🌴算法思路：

🌴算法代码：

五、二分模板

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一、二分查找

1.题目链接：704. 二分查找

2.题目描述：

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target  ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

1. 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
2. n 将在 [1, 10000]之间。
3. nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

3.算法流程：

a. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。

b. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：

1. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
2. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是大于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；
3. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是小于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1 ，然后重复 2 过程；

c. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1

4.算法代码：

class Solution 
{
public:int search(vector<int>& nums, int target) {// 初始化 left 与 right 指针int left = 0, right = nums.size() - 1;// 由于两个指针相交时，当前元素还未判断，因此需要取等号while (left <= right) {// 先找到区间的中间元素int mid = left + (right - left) / 2;// 分三种情况讨论if (nums[mid] == target)return mid;else if (nums[mid] > target)right = mid - 1;elseleft = mid + 1;}// 如果程序⾛到这⾥，说明没有找到⽬标值，返回 -1return -1;}
};

二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 

1.题目链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

2.题目描述：

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

3.算法流程:

        用的还是二分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间一分为二，然后舍去其中一个区间，然后在另一个区间内查找；为了方便叙述，我们用 x 表示该元素， resLeft 表示左边界， resRight 表示右边界。

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寻找左边界思路：

🌵寻找左边界：

我们注意到以左边界划分的两个区间的特点为：

• 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是小于 x 的；
• 右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是大于等于 x 的；

🌵因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：

• 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] <target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
• 当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；

🌵由此，就可以通过二分，来快速寻找左边界；

注意：这里找中间元素需要向下取整。因为后续移动左右指针的时候：

• 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩小的；
• 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（比如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。

因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

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寻找右边界思路：

🌴寻找右边界：

用 resRight 表示右边界；我们注意到右边界的特点为：

• 左边区间 （包括右边界） [left, resRight] 都是小于等于 x 的；
• 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是大于 x 的；

🌴因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：

• 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid的位置；
• 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；

🌴由此，就可以通过二分，来快速寻找右边界；

注意：这里找中间元素需要向上取整。因为后续移动左右指针的时候：

• 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（比如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。
• 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩小的；

因此一定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

4.算法代码：

class Solution
{
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {// 处理边界情况if(nums.size() == 0) return {-1, -1};int begin = 0;int left = 0, right = nums.size() - 1;// 查找区间左端点while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid;}// 判断是否有结果if(nums[left] != target) return {-1, -1};else begin = left;// 标记左端点// 查找区间右端点left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1) / 2;if(nums[mid] <= target)left = mid;elseright = mid - 1;}return {begin, right};}
};

三、x的平方根

1.题目链接：69. x 的平方根 

2.题目描述：

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

3.解法一（暴力解法）

🌴算法思路：

        依次枚举 [0, x] 之间的所有数 i ：（这里没有必要研究是否枚举到 x / 2 还是 x / 2 + 1 。因为我们找到结果之后直接就返回了，往后的情况就不会再判断。反而研究枚举区间，既耽误时间，又可能出错）

• 如果 i * i == x ，直接返回 x ；
• 如果 i * i > x ，说明之前的一个数是结果，返回 i - 1 。 由于 i * i 可能超过 int 的最大值，因此使用 long long 类型。

🌴算法代码：

class Solution 
{
public:int mySqrt(int x) {// 由于两个较⼤的数相乘可能会超过 int 最⼤范围// 因此⽤ long longlong long i = 0;for(i = 0; i <= x; i++){// 如果两个数相乘正好等于 x，直接返回 iif(i * i == x)return i;// 如果第⼀次出现两个数相乘⼤于 x，说明结果是前⼀个数if(i * i > x)return i - 1;}// 为了处理oj题需要控制所有路径都有返回值return -1;}
};

4.解法二（二分查找算法）

🌴算法思路：

设 x 的平方根的最终结果为 index ：

分析 index 左右两侧数据的特点：

• [0, index] 之间的元素，平方之后都是小于等于 x 的；
• [index + 1, x] 之间的元素，平方之后都是大于 x 的。
• 因此可以使用二分查找算法。

🌴算法代码：

class Solution 
{
public:int mySqrt(int x) {if(x < 1) return 0;// 处理边界情况int left = 1, right = x;while(left < right){// 防溢出long long mid = left + (right - left + 1) / 2;if(mid * mid <= x)left = mid;elseright = mid - 1;}return right;}
};

四、搜索插入位置

1.题目链接：35. 搜索插入位置

2.题目描述：

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1: 

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

3.解法（二分查找算法）

🌴算法思路：

a. 分析插入位置左右两侧区间上元素的特点：
设插入位置的坐标为 index ，根据插入位置的特点可以知道：

• [left, index - 1] 内的所有元素均是小于 target 的；
• [index, right] 内的所有元素均是大于等于 target 的。

b. 设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息，分析下⼀轮查询的区间：

• 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
• 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid + 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。

c. 直到我们的查找区间的长度变为 1 ，也就是 left == right 的时候， left 或者right 所在的位置就是我们要找的结果。

🌴算法代码：

class Solution 
{
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid;}if(nums[left] < target) return left + 1;return left;}
};

五、二分模板

在求 mid 的时候，只有 right - 1 的情况下，才会向上取整（也就是 +1 取中间数）。