前缀表达式（波兰式）和后缀表达式（逆波兰式）的计算方式

缀是指操作符。

1. 前缀表达式（波兰式）

（1）不需用括号；
（2）不用考虑运算符的优先级；
（3）操作符置于操作数的前面。（如 + 3 2 ）

1.1 中缀表达式转前缀表达式

中缀表达式转换成前缀表达式和后缀表达式 ——— 飞鸟快跑

1.1.1 加括号法/直接法

中缀表达式：a+b * c-(d+e)
第一步：按照运算符的优先级对所有的运算单位加括号
式子变成：((a+(b * c))-(d+e))
第二步：把运算符号移动到对应的括号前面
则变成：-( +(a * (bc)) +(de))
把括号去掉：-+a*bc+de 前缀式子出现

1.1.2 入栈法

C++：前缀、中缀、后缀表达式互相转换详解 ——小米内推官_AngelDg

遵循以下步骤：

1. 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
2. 从右至左扫描中缀表达式；
3. 遇到操作数时，将其压入S2；
4. 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
   4.1 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
   4.2 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
   4.3 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较
5. 遇到括号时：
   5.1 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
   5.2 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃
6. 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
7. 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
8. 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

1.1.3 遍历树法

将中缀表达式写作表达式树，对其进行先前序遍历得到前缀表达式。

1.2 前缀表达式 逆向求解 中缀表达式

前缀/中缀/后缀----表达式之间的相互转换 —— DioDid

-+1*+2345

1.2.1 从左到右逐个比较

思路： 递归，碰到操作符就进入递归。

1. 从右往左扫描先碰到+号，取+号后面两个操作数：2，3 得到：2+3.
2. 继续往左扫碰到*号，取2+3和 4 得到：（2+3）*4
3. 继续往左扫碰到+号，取1和（2+3）*4得到：1+（2+3）*4
4. 继续往左扫碰到-号，取1+（2+3）*4和5得到：1+（2+3）*4-5

1.2.2 使用前缀表达式扫描推栈法

1.2 前缀表达式计算方式一

前缀表达式 ——百度百科

以二元运算为例，计算过程为：
（1）从左至右读入表达式；
（2）遇到一个操作符后跟随两个操作数时，则计算之；
（3）将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数；
（4）重复此步骤，直至所有操作符处理完毕。

因为在正确的前缀表达式中，操作数必然比操作符多一个，所以必然能找到一个操作符符合运算条件；
而替换时，两个操作数和一个操作符替换为一个操作数，所以减少了各一个操作符和操作数，仍然可以迭代运算直至计算整个式子。
多元运算也类似，从左至右，遇到足够的操作数即产生运算，迭代直至完成。
迭代结束的条件由表达式的正确性来保证。

1.3 前缀表达式计算方式二

前缀表达式(波兰表达式)的计算 ———lexingsen

（1）从右至左遍历表达式。
（2）遇到数字直接入栈。
（3）遇到运算符，取出两个数字，第一个作为操作数，第二作为被操作数，执行相应的运算。将运算的结果继续入栈。
（4）当表达式遍历完时，此时栈顶元素即为计算结果。

2. 后缀表达式（逆波兰式）

（1）不需用括号；
（2）无需考虑操作符的优先级；
（3）把操作数写在前面，把操作符写在后面。（如 3 2 +）

2.1 中缀表达式转后缀表达式

《数据结构》：中缀表达式转后缀表达式 + 后缀表达式的计算 —— Amentos

中缀表达式转换成前缀表达式和后缀表达式 ——— 飞鸟快跑

2.1.1 加括号法/直接法

中缀表达式 ：a+bc-(d+e)
第一步：按照运算符的优先级对所有的运算单位加括号~
式子变成：((a+(bc))-(d+e))
第二步：把运算符号移动到对应的括号后面
则变成：((a(bc)* )- (de)+ )-
把括号去掉：a b c * - d e + - 后缀式子出现

2.1.2 入栈法

C++：前缀、中缀、后缀表达式互相转换详解 ——小米内推官_AngelDg

遵循以下步骤：

1. 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
2. 从左至右扫描中缀表达式；
3. 遇到操作数时，将其压入S2；
4. 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
   4.1 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
   4.2 比栈顶高，也将运算符压入S1 （注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
   4.3 比栈顶低或相同，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
5. 遇到括号时:
   5.1 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
   5.2 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
   可以想象成“（”比任何运算符都高，“）”比任何运算符都低。
6. 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
7. 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
8. 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

2.1.3 遍历树法

将中缀表达式写作表达式树，对其进行后序遍历得到后缀表达式。

2.2 后缀表达式 逆向求解 中缀表达式

1 2 3 + 4* 5 - +

2.2.1 从左到右逐个比较

基本思路和上面的一样： 递归，碰到操作符就进入递归

1. 从左往右扫描先碰到+号，取+号前面两个操作数：2，3 得到：2+3.
2. 继续往右扫碰到*号，取2+3 和 4 得到：（2+3）*4
3. 继续往右扫碰到-号，取（2+3）*4和5得到：（2+3）*4-5
4. 继续往右扫碰到+号：取（2+3）*4-5和1得到：1+（2+3）*4-5

2.2.2 使用后缀表达式扫描推栈法

2.3 后缀表达式计算方式

后缀（逆波兰）表达式的计算以及中缀转后缀的方法 —— 椰椰椰耶

按操作符从左到右出现的顺序依次执行(不考虑运算符之间的优先级)
这对于计算机而言是比较简单的结构。

（1）从左到右遍历表达式。
（2） 如果当前字符为变量或者为数字，则压栈；
（3）如果是运算符，则将栈顶两个元素弹出作相应运算，结果再入栈。
（4）最后当表达式扫描完后，栈顶元素（也只会剩下一个元素）就是结果。

注意与前缀表达式（波兰式）第二种计算方式的相同点及共同点。

3. 中缀表达式

（1）操作符位于两个运算数中间。
（2）计算时要综合考虑操作符的优先级和括号。

如 5*(2+1) ，虽然 * 的优先级高于 + ，但括号的存在表示应优先执行括号内的 + 运算。

3.1 中缀表达式计算方式

《数据结构（C语言版）第二版》第三章-栈和队列（3.6）—— 3.6.3 表达式求值

《数据结构（C语言版）第二版》P79、P80

3.2 遍历树法获得中缀表达式

将中缀表达式写作表达式树，对其进行中序遍历得到中缀表达式。

注意：
中序遍历可以用来表示一个表达式的结构，但它本身不包含足够的信息来完全确定运算符的优先级和结合性。
如果需要根据一个中序序列重建表达式树并正确地计算表达式，需要额外的信息来指导如何处理运算符。

如对表示表达式 a+b*(c-d)一e/f 的二叉树进行中序遍历，只能得到的中序序列为 a + b * c - d - e/f，显然与原表达式的计算顺序不同，要额外加括号规定运算顺序。