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1. 哈希的概念

在我们之前所接触到的所有的数据结构中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系，因此我们要想查找一个元素，必须要经过关键码的多次比较。

顺序查找时间复杂度为O(N)，平衡树中为树的高度，即O(log₂N)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。

理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。
如果构造一种存储结构，通过某种函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一 一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。

向该结构中搜索与查找一个元素时，可以直接通过关键码的值，然后通过某种函数，直接找到该元素所在的位置。

该方式即为哈希(散列)方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数，构造出来的结构称为哈希表或者称散列表

2. 哈希表与哈希函数

其中size为表中元素的大小，最初是默认是10

2.1 哈希冲突

按照上述哈希方式，向集合中插入元素14、24、34，会出现什么问题？

不同关键字通过相同哈希哈数计算出相同的哈希地址，该种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。

把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”。

发生哈希冲突该如何处理呢？

2.2 哈希函数

引起哈希冲突的一个原因可能是：哈希函数设计不够合理。
哈希函数设计原则：

• 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，而如果散列表允许有m个地址时，其值域必须在[0,m-1]中
• 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中
• 哈希函数应该比较简单

常见哈希函数

1. 直接定址法- -(常用)
   取关键字的某个线性函数为散列地址：Hash（Key）= A*Key + B。（例如一个字符串，其在哈希比表中的位置就可以使字符串中所有字符的和，为了避免key不同，而地址相同，可以在乘以一个A）
   优点：简单、均匀
   缺点：需要事先知道关键字的分布情况
   使用场景：适合查找比较小且连续的情况

2. 除留余数法- -(常用)
   设散列表中允许的地址数为m，取一个不大于m，但最接近或者等于m的质数p作为除数，按照哈希函数：Hash(key) = key% p，将关键码转换成哈希表中的3地址

3. 随机数法- -(了解)
   选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即H(key) = random(key),其中random为随机数函数。
   通常应用于关键字长度不等时采用此法

由于哈希函数比较多，这里就不一一列举了。

2.3 哈希冲突的解决

2.3.1 闭散列（线性探测）

闭散列：也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明在哈希表中必然还有空位置，那么可以把key存放到冲突位置中的“下一个” 空位置中去。那如何寻找下一个空位置呢？

1. 线性探测

比如上述中的场景，现在需要插入元素14，先通过哈希函数计算哈希地址，hashi为4，因此14理论上应该插在该位置，但是该位置已经放了值为4的元素，即发生哈希冲突。

线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

• 插入
  通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置
  如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突，则使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素

• 查找

例如要找key为14的元素，首先使用哈希函数计算出元素在哈希表中的地址，从该地址处依次向后比较，直到遇到空位置。

• 删除

对于删除而言，要先查找到元素，然后再将元素删除掉。那怎么删呢？将该位置的状态置为吗？
删除数据时，只需将该位置设置为删除，不能将该位置的状态设置为空，否则将影响查找功能（如果将14位置的状态置为空，在查找44时将找不到，走到空就停下了）

2.3.2 闭散列的实现

为了标明每个位置的状态，我们可以使用枚举常量来表示

		//元素的状态enum State{EXIST = 0,	//已有元素DELETE,	//该位置元素已删除EMPTY	//该位置为空};

哈希表的初步框架

namespace open_addr
{//为了后期适配map与set，这里先给两个模板参数template<class K,class T>class HashTable{//元素的状态enum State{EXIST = 0,	//已有元素DELETE,	//该位置元素已删除EMPTY	//该位置为空};//元素的结构struct Element{T _data;State _state;};public:HashTable(size_t N = 10){_table.resize(N);for (size_t i = 0; i < N; i++){_table[i]._state = EMPTY;}}bool insert(const T& data){}size_t find(const K& key){}bool erase(const K& key){}private:vector<Element> _table;//哈希表size_t _n;   //记录当前元素个数};
}

下面我们就来具体实现各项功能：

• 插入

	//哈希函数template<class K>struct HashFunc{size_t operator()(const K& key){return key;}};

		bool insert(const T& data){//根据哈希函数，计算位置Hash hs;size_t hashi = hs(data) % _table.size();//检查是否有哈希冲突问题while (_table[hashi]._state == EXIST){hashi++;hashi %= _table.size();//实现下标的环绕}//插入元素，修改状态_table[hashi]._data = data;_table[hashi]._state = EXIST;_n++;return true;}

当我们的元素是int时，代码可以跑通；但当元素是string时，代码就过不了了。
所以我们需要对哈希函数进行特化处理。

此时不管你是什么类型，只要提供对应的哈希函数，我们的代码就可以跑

哈希表扩容问题

如果我们的哈希表满了，那么数据进来后，就会一直死循环；而且哈希表中元素越多，哈希冲突越高，效率越低。

因此就引入了载荷因子来判断是否需要扩容来提高效率问题

散列表的载荷因子定义为: a =填入表中的元素个数 / 散列表的长度

• a是散列表装满程度的标志因子。
• 由于表长是定值，a与“填入表中的元素个数”成正比，所以，a越大，表明填入表中的元素越多，产生冲突的可能性就越大；反之，a越小，标明填入表中的元素越少，产生冲突的可能性就越小。
• 实际上，散列表的平均查找长度是载荷因子a的函数，只是不同处理冲突的方法有不同的函数。
• 对于开放定址法，荷载因子是特别重要因素，应严格限制在0.7-0. 8以下。超过0. 8，查表时的CPU缓存不命中(cache missing)按照指数曲线上升。因此，一些采用开放定址法的hash库，如Java的 系统库限制了荷载因子为0.75，超过此值将resize散列表。

扩容时，先开一个是原来旧表二倍大小的新表，然后根据旧表中的元素，寻找元素在新表中的位置，寻找位置插入。

由于再次计算位置，插入元素和不扩容时的代码一样，为了减少代码的冗余，这里我们直接开一个新的哈希表，最后交换两哈希表的表即可。

		bool insert(const T& data){size_t n = _table.size();//检查是否扩容if (10 * _n / n >= 7){//直接建立一个新表HashTable<K, T, Hash> newtable;newtable._table.resize(n * 2);//复用插入的逻辑for (size_t i = 0; i < n; i++){if (_table[i]._state == EXIST)//该位置有元素才转移{newtable.insert(_table[i]._data);}}//交换新旧表swap(_table, newtable._table);}//根据哈希函数，计算位置Hash hs;size_t hashi = hs(data) % n;//检查是否有哈希冲突问题while (_table[hashi]._state == EXIST){hashi++;hashi %= n;//实现下标的环绕}//插入元素，修改状态_table[hashi]._data = data;_table[hashi]._state = EXIST;_n++;return true;}

• 查找

对于查找而言，使用哈希函数计算好位置后，从该位置向后找，直到位置的状态为空

		int find(const K& key){//根据key获取表中的位置Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _table.size();while (_table[hashi]._state != EMPTY){if (_table[hashi]._state == EXIST&& _table[hashi]._data == key){return hashi;}hashi++;hashi %= _table.size();}return -1;}

• 删除

		bool erase(const K& key){int hashi = find(key);if (hashi != -1){_table[hashi]._state = DELETE;//状态设置为删除--_n;//个数减少return true;}return false;}

线性探测优点：实现非常简单，
线性探测缺点：一旦发生哈希冲突，所有的冲突连在一起，容易产生数据“堆积”，即：不同关键码占据了可利用的空位置，使得寻找某关键码的位置需要许多次比较，导致搜索效率降低。如何缓解呢？

线性探测的缺陷是产生冲突的数据堆积在一块，这与其找下一个空位置有关系，因为找空位置的方式就是挨着往后逐个去找，因此二次探测为了避免该问题，找下一个空位置的方法为：$H_i$ = ($H_0$ + $i^2$ )% m, 或者：$H_i$ = ($H_0$ - $i^2$ )% m。其中：i = 1,2,3…， $H_0$是通过散列函数Hash(x)对元素的关键码 key 进行计算得到的位置，m是表的大小。

二次探测其实也只是缓解了该问题，因此我们就不实现二次探测了。
闭散列最大的缺陷就是空间利用率比较低，这也是哈希的缺陷。

//原模板
template<class K>
struct HashFunc
{size_t operator()(const K& key){return key;}
};//特化
template<>
struct HashFunc<string>
{size_t operator()(const string& key){size_t sum = 0;for (auto& e : key){sum *= 31;//这里使用了直接地址法，避免字符串的key计算后相同sum += e;}return sum;}
};
namespace open_addr
{//为了后期适配map与set，这里先给两个模板参数template<class K,class T,class Hash = HashFunc<K>>class HashTable{//元素的状态enum State{EXIST = 0,	//已有元素DELETE,	//该位置元素已删除EMPTY	//该位置为空};//元素的结构struct Element{T _data;State _state;};public:HashTable(size_t N = 10){_table.resize(N);for (size_t i = 0; i < N; i++){_table[i]._state = EMPTY;}}bool insert(const T& data){size_t n = _table.size();//检查是否扩容if (10 * _n / n >= 7){//直接建立一个新表HashTable<K, T, Hash> newtable;newtable._table.resize(n * 2);//复用插入的逻辑for (size_t i = 0; i < n; i++){if (_table[i]._state == EXIST)//该位置有元素才转移{newtable.insert(_table[i]._data);}}//交换新旧表swap(_table, newtable._table);}//根据哈希函数，计算位置Hash hs;size_t hashi = hs(data) % n;//检查是否有哈希冲突问题while (_table[hashi]._state == EXIST){hashi++;hashi %= n;//实现下标的环绕}//插入元素，修改状态_table[hashi]._data = data;_table[hashi]._state = EXIST;_n++;return true;}int find(const K& key){//根据key获取表中的位置Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _table.size();while (_table[hashi]._state != EMPTY){if (_table[hashi]._state == EXIST&& _table[hashi]._data == key){return hashi;}hashi++;hashi %= _table.size();}return -1;}bool erase(const K& key){int hashi = find(key);if (hashi != -1){_table[hashi]._state = DELETE;//状态设置为删除--_n;//个数减少return true;}return false;}size_t size(){return _n;}private:vector<Element> _table;//哈希表size_t _n;   //记录当前元素个数};
}

2.3.3 开散列(哈希桶)

开散列法又叫链地址法(开链法)，首先对关键码集合用哈希函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，各链表的头结点存储在哈希表中。

从上图可以看出，开散列中每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素。

2.3.4 开散列的实现

开散列与闭散列唯一的不同就是：开散列使用了链表解决哈希冲突占据其它位置的问题。
所以此时的插入和删除就要按照链表的逻辑去走。

• 插入

桶的个数是一定的，随着元素的不断插入，每个桶中元素的个数不断增多，极端情况下，可能会导致一个桶中链表节点非常多，会影响的哈希表的性能，因此在一定条件下需要对哈希表进行增容，那该条件怎么确认呢？开散列最好的情况是：每个哈希桶中刚好挂一个节点，再继续插入元素时，每一次都会发生哈希冲突，因此，在元素个数刚好等于桶的个数时，可以给哈希表增容。

由于开辟节点的消耗比较大，因此就不能使用闭散列那种方法复用插入；我们可以按照元素的值计算新的位置，对其进行重新连接，省下来开辟节点的消耗。

		bool insert(const T& data){Hash hs;size_t size = _table.size();//检查扩容if (_n == size)//节点个数等于桶的数量时，进行扩容{//为了节省开销，不再重新开辟新节点，直接映射原来的节点，将原来的映射取消vector<Node*> newtable(size * 2, nullptr);size_t newsize = newtable.size();for (size_t i = 0; i < size; i++){Node* cur = _table[i];while (cur){size_t hashi = hs(cur->_data) % newsize;//元素对应的新表中的位置Node* next = cur->_next;//记录当前桶的下一个元素//头插连接到新桶cur->_next = newtable[hashi];newtable[hashi] = cur;cur = next;}_table[i] = nullptr;}swap(_table, newtable);}size_t hashi = hs(data) % _table.size();//头插连接Node* newnode = new Node(data);newnode->_next = _table[hashi];_table[hashi] = newnode;++_n;return true;}

• 查找

查找时，按照哈希函数确定位置后，遍历链表比较即可

		Node* find(const K& key){Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _table.size();Node* cur = _table[hashi];while (cur){if (cur->_data == key)return cur;cur = cur->_next;}return nullptr;}

• 删除

对于删除而言，就不能直接利用find函数了。对于链表的删除要分几种情况讨论

1. 当前桶是否只有这一个元素
2. 多个元素时，删除链表中的节点要连接删除节点前后的节点（要记录前驱节点）

		bool erase(const K& key){Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _table.size();Node* cur = _table[hashi];Node* prev = nullptr;while (cur){if (cur->_data == key){if (prev == nullptr)//桶中只有一个元素{_table[hashi] = nullptr;}else{prev->_next = cur->_next;//连接前驱和后继节点}delete cur;_n--;return true;}else{prev = cur;cur = cur->_next;}}return false;}

• 析构

由于此处使用的是我们自己的链表，所以最后别忘记释放节点

		~HashTable(){for (size_t i = 0; i < _table.size(); i++){Node* cur = _table[i];while (cur){Node* next = cur->_next;delete cur;cur = next;}_table[i] = nullptr;}}

//原模板
template<class K>
struct HashFunc
{size_t operator()(const K& key){return key;}
};//特化
template<>
struct HashFunc<string>
{size_t operator()(const string& key){size_t sum = 0;for (auto& e : key){sum *= 31;//这里使用了直接地址法，避免字符串的key计算后相同sum += e;}return sum;}
};namespace hash_bucket
{template<class T>struct HashNode{T _data;//数据域HashNode<T>* _next;//指针域HashNode(const T& data):_data(data), _next(nullptr){}};//为了后期适配map与set，这里先给两个模板参数template<class K, class T,class Hash = HashFunc<K>>class HashTable{typedef HashNode<T> Node;public:HashTable(size_t N = 10){_table.resize(N,nullptr);}~HashTable(){for (size_t i = 0; i < _table.size(); i++){Node* cur = _table[i];while (cur){Node* next = cur->_next;delete cur;cur = next;}_table[i] = nullptr;}}bool insert(const T& data){Hash hs;size_t size = _table.size();//检查扩容if (_n == size)//节点个数等于桶的数量时，进行扩容{//为了节省开销，不再重新开辟新节点，直接映射原来的节点，将原来的映射取消vector<Node*> newtable(size * 2, nullptr);size_t newsize = newtable.size();for (size_t i = 0; i < size; i++){Node* cur = _table[i];while (cur){size_t hashi = hs(cur->_data) % newsize;//元素对应的新表中的位置Node* next = cur->_next;//记录当前桶的下一个元素//头插连接到新桶cur->_next = newtable[hashi];newtable[hashi] = cur;cur = next;}_table[i] = nullptr;}swap(_table, newtable);}size_t hashi = hs(data) % _table.size();//头插连接Node* newnode = new Node(data);newnode->_next = _table[hashi];_table[hashi] = newnode;++_n;return true;}Node* find(const K& key){Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _table.size();Node* cur = _table[hashi];while (cur){if (cur->_data == key)return cur;cur = cur->_next;}return nullptr;}bool erase(const K& key){Hash hs;size_t hashi = hs(key) % _table.size();Node* cur = _table[hashi];Node* prev = nullptr;while (cur){if (cur->_data == key){if (prev == nullptr)//桶中只有一个元素{_table[hashi] = nullptr;}else{prev->_next = cur->_next;}delete cur;_n--;return true;}else{prev = cur;cur = cur->_next;}}return false;}private:vector<Node*> _table;size_t _n;};
}

2.4 开散列与闭散列比较

用链地址法处理溢出，需要增设链接指针，似乎增加了存储开销。事实上：由于开地址法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率，如二次探查法要求装载因子a <= 0.7，而表项所占空间又比指针大的多，所以使用链地址法反而比开地址法节省存储空间。