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【图形学】TA之路-矩阵应用平移-旋转-大小

矩阵应用:在 Unity 中,Transform 和矩阵之间的关系非常密切。Transform 组件主要用于描述和控制一个物体在三维空间中的位置、旋转和缩放,而这些操作背后实际上都是通过矩阵来实现的

1. Transform 组件与矩阵的关系

Transform 组件包含以下三个核心属性:

  • Position:物体的位置。
  • Rotation:物体的旋转(通常以四元数或欧拉角表示)。
  • Scale:物体的缩放。

Unity 在计算一个物体在世界空间中的最终位置、旋转和缩放时,会将这些属性组合成一个 4x4 的变换矩阵

2. 变换矩阵 (Transformation Matrix)

变换矩阵是一个 4x4 矩阵,它可以表示一个物体在三维空间中的所有变换(平移、旋转、缩放)。这个矩阵通常被称为世界矩阵(World Matrix)或模型矩阵(Model Matrix)。

在 Unity 中,这个矩阵由 TransformlocalToWorldMatrix 属性表示,用于将物体的本地坐标转换到世界坐标系中。

3. Unity 中矩阵的运算过程

当 Unity 计算一个物体在场景中的最终位置时,会依次应用以下矩阵变换:

  • 缩放矩阵:描述物体的缩放变换。
  • 旋转矩阵:描述物体的旋转变换。
  • 平移矩阵:描述物体的位置变换。

4. Transform 矩阵的实际应用

当 Unity 需要将一个物体的本地坐标转换为世界坐标时,它会使用 localToWorldMatrix 进行转换。相反,如果需要将世界坐标转换为物体的本地坐标,Unity 会使用 worldToLocalMatrix

原理解析 

当一个物体的位置、旋转、缩放分别为 {0, 0, 0}{90, 90, 90}{1, 1, 1} 时,它的变换矩阵代表了如何将物体从其本地坐标系变换到世界坐标系。

1. 平移矩阵(Translation Matrix)

位置为 {0, 0, 0},意味着物体位于世界坐标系的原点(没有平移)。因此,平移矩阵是一个单位矩阵:

平移公式
 

2. 旋转矩阵(Rotation Matrix)

旋转为 {90°, 90°, 90°},意味着物体在每个轴上都旋转了 90 度。这个旋转由三个矩阵(分别绕 X 轴、Y 轴、Z 轴的旋转)组合而成。

  • 绕 X 轴旋转 90 度:

     

X轴旋转公式 

 

  • 绕 Y 轴旋转 90 度:

     

Y轴旋转公式  

 

  • 绕 Z 轴旋转 90 度:

     

 Z轴旋转公式  

  

最终的旋转矩阵是这些矩阵的乘积:

Rotation Matrix=Rotation Matrix (X)×Rotation Matrix (Y)×Rotation Matrix (Z)


3. 缩放矩阵(Scale Matrix)
缩放为 {1, 1, 1},意味着物体在所有方向上都没有缩放。缩放矩阵也是单位矩阵

缩放公式 

 

4. 组合变换矩阵

最终的变换矩阵是平移、旋转和缩放矩阵的组合。顺序为缩放 -> 旋转 -> 平移,因此组合矩阵为:

Transformation Matrix=Translation Matrix×Rotation Matrix×Scale Matrix

源码示例(个人写的,基本是这原理吧)

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
using UnityEngine;
namespace Ethan
{public class Matrix4x4{private float[,] elements;// 构造函数public Matrix4x4(){elements = new float[4, 4];}// 用于初始化的构造函数public Matrix4x4(float[,] elements){this.elements = elements;}// 单位矩阵public static Matrix4x4 Identity(){return new Matrix4x4(new float[,]{{1, 0, 0, 0},{0, 1, 0, 0},{0, 0, 1, 0},{0, 0, 0, 1}});}// 零矩阵public static Matrix4x4 Zero(){return new Matrix4x4(new float[4, 4]);}// 矩阵乘法public static Matrix4x4 operator *(Matrix4x4 a, Matrix4x4 b){Matrix4x4 result = Zero();for (int i = 0; i < 4; i++){for (int j = 0; j < 4; j++){result.elements[i, j] = 0;for (int k = 0; k < 4; k++){result.elements[i, j] += a.elements[i, k] * b.elements[k, j];}}}return result;}// 平移矩阵public static Matrix4x4 Translate(float x, float y, float z){return new Matrix4x4(new float[,]{{1, 0, 0, x},{0, 1, 0, y},{0, 0, 1, z},{0, 0, 0, 1}});}// 绕X轴旋转矩阵public static Matrix4x4 RotateX(float angle){float rad = Mathf.Deg2Rad * angle;return new Matrix4x4(new float[,]{{1, 0, 0, 0},{0, Mathf.Cos(rad), -Mathf.Sin(rad), 0},{0, Mathf.Sin(rad), Mathf.Cos(rad), 0},{0, 0, 0, 1}});}// 绕Y轴旋转矩阵public static Matrix4x4 RotateY(float angle){float rad = Mathf.Deg2Rad * angle;return new Matrix4x4(new float[,]{{Mathf.Cos(rad), 0, Mathf.Sin(rad), 0},{0, 1, 0, 0},{-Mathf.Sin(rad), 0, Mathf.Cos(rad), 0},{0, 0, 0, 1}});}// 绕Z轴旋转矩阵public static Matrix4x4 RotateZ(float angle){float rad = Mathf.Deg2Rad * angle;return new Matrix4x4(new float[,]{{Mathf.Cos(rad), -Mathf.Sin(rad), 0, 0},{Mathf.Sin(rad), Mathf.Cos(rad), 0, 0},{0, 0, 1, 0},{0, 0, 0, 1}});}// 缩放矩阵public static Matrix4x4 Scale(float x, float y, float z){return new Matrix4x4(new float[,]{{x, 0, 0, 0},{0, y, 0, 0},{0, 0, z, 0},{0, 0, 0, 1}});}// 矩阵与向量相乘public static Vector3 MultiplyPoint(Matrix4x4 m, Vector3 point){float x = m.elements[0, 0] * point.x + m.elements[0, 1] * point.y + m.elements[0, 2] * point.z + m.elements[0, 3];float y = m.elements[1, 0] * point.x + m.elements[1, 1] * point.y + m.elements[1, 2] * point.z + m.elements[1, 3];float z = m.elements[2, 0] * point.x + m.elements[2, 1] * point.y + m.elements[2, 2] * point.z + m.elements[2, 3];return new Vector3(x, y, z);}// 显示矩阵内容public override string ToString(){string result = "";for (int i = 0; i < 4; i++){for (int j = 0; j < 4; j++){result += elements[i, j] + "\t";}result += "\n";}return result;}}
}

调用示例
 

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
using Vector3 = Ethan.Vector3;
using Matrix4x4 = Ethan.Matrix4x4;
public class Game : MonoBehaviour
{void Start(){// 创建变换矩阵Matrix4x4 rotation = Matrix4x4.RotateY(45); // 绕Y轴旋转45度Matrix4x4 translation = Matrix4x4.Translate(10, 0, 5); // 平移Matrix4x4 scale = Matrix4x4.Scale(2, 2, 2); // 缩放// 组合变换Matrix4x4 transformation = translation * rotation * scale;// 应用到一个点Vector3 originalPoint = new Vector3(1, 1, 1);Vector3 transformedPoint = Matrix4x4.MultiplyPoint(transformation, originalPoint);// 输出结果Debug.Log("初始点: " + originalPoint);Debug.Log("转换点: " + transformedPoint);Debug.Log("变换矩阵:\n" + transformation);}}

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