【线性代数】【二】2.7 矩阵的秩

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前言

在前面的内容中，我们已经陆陆续续地给出了秩的概念。本文可以看成是对以往概念与性质的总结，那专门针对秩进行分析。

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一、向量组的秩

在笔记2.2中，我们学习了极大线性无关组的概念。现在，我们给出向量组的秩定义：一组向量的秩表示该组向量的极大线性无关组的向量数量。结合向量空间的维数定义，可知由该组向量张成的向量空间的维数等于秩。

当我们往向量组中添加线性无关的向量时，秩也会增加。但是我们可以一直重复这个过程来增加秩吗？换言之，我们总能找到一个向量，与原向量组线性无关吗？

答案当然是否定的。由$n$维向量组成的一组向量，其秩的上界为$n$。因为$n$维空间中任意n个线性无关的向量构成该空间的一组基。因此当增加到大于$n$个向量时，新增加的向量一定可以被之前$n$个向量线性表示。

二、矩阵的秩

矩阵的秩即为矩阵列向量组的秩，也等于矩阵行向量组的秩，也等于其化为行最简矩阵时主元的数量。下面，我们分析几种常见操作对矩阵秩的影响。

1)乘上一个矩阵

$r(\mathbf{AB})⩽r(\mathbf{A})$

这个性质在笔记2.6中已有说明，即$\mathbf{AB}$的列向量为$\mathbf{A}$的列向量的线性组合，而线性组合得到的向量与原向量组是线性相关的，因此无法增加线性无关的列向量数量。当$\mathbf{B}$为可逆矩阵时，等号一定成立，证明可见笔记2.6。

2）加上一个矩阵

$r(\mathbf{A}+\mathbf{B})⩽r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$

矩阵相加，相当于将两个矩阵的列向量做了一个简单的线性组合，同样的，线性组合无法增加与两原矩阵的列向量线性无关的向量。

3）增广矩阵

$r(\mathbf{A}+\mathbf{B})⩽r([\mathbf{A},\mathbf{B}])⩽r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$

矩阵相加即对增广矩阵列向量进行线性组合，因此秩小于等于增广矩阵。增广矩阵的增加的线性无关列向量不会超过$r(\mathbf{B})$。

max ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } ⩽ r ( [ A , B ] ) \max\{r(\bm{A}),r(\bm{B})\}\leqslant r([\bm{A,B}]) max{r(A),r(B)}⩽r([A,B])

增广矩阵不会使得原本线性无关的向量变成线性相关，因此不会减少秩。

三、矩阵的可逆性与秩

因为矩阵的秩等于行最简的主元数，而n阶可逆矩阵的行等价于n阶单位矩阵，即主元素等于n。因此，方阵的秩等于列数时必然可逆。

至此，我们得到了一组等价关系：

n阶方阵可逆$⟺$行等价于n阶单位阵$⟺$秩等于n$⟺$零空间维度为0，齐次方程组只有零解$⟺$矩阵的列(行)向量均线性无关

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总结

之前虽然已经提到秩的定义并推导了一些性质，但还不够全面。本文可以算是对矩阵的秩的一点简单的查缺补漏吧。