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【文科生能看懂的】牛顿二项式定理

news 文章来源：https://blog.csdn.net/TeamLee/article/details/141297594 2024/9/21 18:54:02

牛顿二项式定理

简单的二项式整数次幂
展开的结果中的规律
- 结果中各项的指数
- 结果中各项的系数
二项式定理

牛顿二项式定理就是用来求某个二项式的整数次幂的展开式的。

简单的二项式整数次幂

我们可以先从简单的情况开始，比如二项式 $(a + b)$ 的整数次幂：
$a+b)^0=1 \\ (a+b)^1=a+b \\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
这几个等式都比较简单，具体的展开过程就不赘述了。但是如果指数再往上增加，展开的难度就会急剧上升，比如当指数为4时：
$\begin{align*} (a+b)^4 & =(a+b)^3(a+b) \\ & = (a^3+3a^2b^+3ab^2+b^3)(a+b) \\ &= a^4 + 3 a^3b+3a^2b^2 + ab^3+a^3b+3a^2b^2+3ab^3+b^4 \\ & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{align*}$

展开的结果中的规律

但是好在这些结果都是有规律的，现在还不大能看出来，但是如果把上面4个等式这样写，就很清晰了：
$\begin{align*} (a+b)^0 &= a^0b^0 \\ (a+b)^1 & =a^1b^0+a^0b^1 \\ (a+b)^2&= a^2b^0+2a^1b^1+a^0b^2 \\ (a+b)^3 &= a^3b^0+3a^2b^1+3a^1b^2+a^0b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4b^0+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4a^0 \end{align*}$

结果中各项的指数

还不够清晰的话，我们把等式左边都去掉，把系数也都去掉：
$a^0b^0 \\ a^1b^0+a^0b^1 \\ a^2b^0+a^1b^1+a^0b^2 \\ a^3b^0+a^2b^1+a^1b^2+a^0b^3 \\ a^4b^0+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4a^0$
一个很经典的金字塔造型。一行一行来看的话，每一行的式子中：

都是 $a$ 和 $b$ 的不同指数幂的乘积的和
$a$ 和 $b$ 的指数一个递增、一个递减

用统一的式子来表达就是：
$\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k$

其中 $k$ 和 $n$ 都是整数， $k$ 的范围为 $[0, n]$

结果中各项的系数

现在我们再单独来看之前被我们拿掉的系数：
$\\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ \cdots$
这个金字塔大家应该很熟悉吧，这就是著名的杨辉三角，西方叫帕斯卡三角。

三角中的两个斜边和上顶点都是1；
其他的数是它头上的两个数的和

乍一看这个规律很难总结，但是如果把它们换成组合数的话:
$C_0^0 \\ C_1^0 \quad C_1^1 \\ C_2^0 \quad C_2^1 \quad C_2^2 \\ C_3^0 \quad C_3^1 \quad C_3^2 \quad C_3^3 \\ C_4^0 \quad C_4^1 \quad C_4^2 \quad C_4^3 \quad C_4^4 \\ \cdots$

关于组合数的计算可以参考本专栏的《【文科生能看懂的】排列组合》

这样一眼就能看出规律来了吧，用表达式总结就是:
$C_n^k$