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线性代数：每日一题1/特征值与相似对角化

news 2026/2/7 11:31:31

设A, B 为二阶矩阵，且 AB = BA , 则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化"的（）

A. 充分必要条件

B. 充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

知识点：

  1. 特征向量与特征值的关系

  2. 相似矩阵的定义和性质

  3. n阶矩阵可相似对角化的充要条件

定义一：设A是n阶矩阵，如果存在一个是 $\lambda$ 及非零的n维列向量 $\overrightarrow{\alpha}$ , 使得：

$A\overrightarrow{\alpha}=\lambda\overrightarrow{\alpha}$

成立，则称 $\lambda$ 是矩阵A的一个特征值，称非零向量 $\overrightarrow{\alpha}$ 是矩阵A属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量。

定义二：设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 P ,使得：

$P^{-1}AP=B$

则称矩阵 A 和 B 相似，记作 A~B .

特别地，如果A能够与对角矩阵相似，则称A可对角化。

定理1：n 阶方阵 A 可相似对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。

定理2：如果\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m} 是矩阵 A 的互不相同的特征值，\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m} 线性无关。

由题目可知，A，B矩阵相似。A的特征值与与B的特征值相同。由定理1,2可知，A矩阵可相似对角化。由于A，B矩阵相似，故B可相似对角化。充分性成立。

下面看必要性：B可对角化，能推出有2个线性无关的特征向量。但是注意，线性无关的特征向量不能推出特征值互不相同，如：[1,0],[0,1]。所以不能推出A有两个不相等的特征值。

综上，A有两个不同的特征值是B可对角化的充分不必要条件。

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