python动画：场景的线性变换展示

一，主函数

LinearTransformationScene 是 Manim 中用于展示线性变换的场景类。它通过在一幅背景和前景平面上展示向量和变换，帮助理解线性代数中的概念。

LinearTransformationScene(include_background_plane=True, 
include_foreground_plane=True, background_plane_kwargs=None, 
foreground_plane_kwargs=None, show_coordinates=False, 
show_basis_vectors=True, basis_vector_stroke_width=6, 
i_hat_color=ManimColor('#83C167'), j_hat_color=ManimColor('#FC6255'), 
leave_ghost_vectors=False, **kwargs)

以下是该函数及其参数的解释：

参数解释：

• include_background_plane (bool): 是否包括背景平面。默认为 True，它显示背景平面用于帮助视觉化向量和变换。

• include_foreground_plane (bool): 是否包括前景平面。默认为 True，前景平面可以用于显示变换后的向量。

• background_plane_kwargs (dict): 背景平面的一些可选参数，例如颜色、大小等。默认是 None，表示使用默认设置。

• foreground_plane_kwargs (dict): 前景平面的可选参数，可以设置不同的样式或属性。默认是 None。

• show_coordinates (bool): 是否显示坐标轴。默认为 False。

• show_basis_vectors (bool): 是否显示基向量（i_hat 和 j_hat）。默认为 True。

• basis_vector_stroke_width (int): 基向量的线宽。默认为 6。

• i_hat_color (ManimColor): i 方向基向量的颜色，默认为 '#83C167'。

• j_hat_color (ManimColor): j 方向基向量的颜色，默认为 '#FC6255'。

• leave_ghost_vectors (bool): 是否保留“幽灵”向量（即变换前后都可见的向量）。默认为 False。

• **kwargs: 其他可选参数，可以传入给父类的构造函数。

示例代码：

from manim import *  class LinearTransformationSceneExample01(LinearTransformationScene):  def __init__(self, **kwargs):  # 初始化父类 LinearTransformationScene，并设置一些属性  LinearTransformationScene.__init__(  self,  include_background_plane=True,  # 包括背景平面  include_foreground_plane=True,   # 包括前景平面  background_plane_kwargs=None,     # 背景平面的参数（可选）  foreground_plane_kwargs=None,     # 前景平面的参数（可选）  show_coordinates=False,           # 是否显示坐标轴坐标  show_basis_vectors=True,          # 是否显示基础向量  basis_vector_stroke_width=6,      # 基础向量的线宽  i_hat_color=ManimColor('#83C167'), # i 向量的颜色  j_hat_color=ManimColor('#FC6255'), # j 向量的颜色  leave_ghost_vectors=False,        # 是否保留变换之后的向量影像  **kwargs                          # 其他参数  )  def construct(self):  # 定义一个线性变换矩阵  matrix = [[1, 1], [0, 1]]  # 创建坐标轴并添加坐标  ax = Axes().add_coordinates()  self.add(ax)  # 将坐标轴添加到场景中  # 应用线性变换矩阵  self.apply_matrix(matrix,run_time=1)  

二，函数方法 

1.apply_matrix(matrix, **kwargs)方法

apply_matrix(matrix, **kwargs) 是 Manim 中 LinearTransformationScene 类的一个方法，用于将给定的矩阵应用于场景中的对象（如几何形状、文本或矢量等）。这个方法是进行动画制作时实现线性变换的重要工具，能够直观地演示线性代数中的矩阵变换如何影响图形。

方法参数

1. matrix: 这是一个二维列表或者 NumPy 数组，代表一个线性变换矩阵。该矩阵的维度应当与操作的对象的维度相匹配。例如，对于二维对象（如平面内的图形），你需要提供一个 2x2 的矩阵。矩阵中的元素决定了对象的缩放、旋转、平移等变换效果。

2. kwargs: 这个参数允许传递其他关键字参数，通常用于设置动画的相关属性，例如持续时间（run_time）、动画的延迟（lag_ratio），以及是否在动画结束后保留变换结果的标志（path_arc）等。通过这些可选参数，可以更加灵活地控制动画的表现和视觉效果。

方法功能

apply_matrix() 的主要功能是将指定的矩阵应用于场景中的对象，具体流程如下：

1. 计算变换: 根据传入的矩阵，计算出对象在变换后的位置和形状。这一过程涉及到矩阵乘法，将对象的每个顶点坐标与矩阵相乘，从而得到新的坐标。

2. 更新对象: 将计算后的新坐标应用到对象上。对于大多数对象而言，这意味着它们的顶点、边界和外观会根据新的坐标重新绘制。

3. 动画表现: 可以通过提供的 kwargs 设置动画属性，例如变换的时间和延迟，使变换更加动态和平滑。这样可以增强观众的视觉体验，使线性变换不仅仅是数学计算，而是通过动画直观呈现。

小结

总的来说，apply_matrix(matrix, **kwargs) 方法在 Manim 中是实现线性变换的核心工具，通过对矩阵的灵活运用，用户可以创建丰富多彩的数学可视化效果，将抽象的数学概念变得生动有趣。无论是学术研究、教学演示还是创意动画，这个方法都提供了强大的支持。

 

2.apply_transposed_matrix(transposed_matrix, **kwargs)方法

apply_transposed_matrix(transposed_matrix, **kwargs) 是 Manim 中 LinearTransformationScene 类的一个方法，用于将给定的转置矩阵应用于场景中的对象。这一方法在进行线性变换演示时非常重要，特别是在涉及到坐标变换、数据变换以及几何变换时。

方法参数

1. transposed_matrix: 这是一个二维列表或 NumPy 数组，表示需要应用的转置矩阵。转置矩阵是通过交换矩阵的行和列得到的，彼此之间的元素位置被互换。对于二维覆盖面的操作，转置矩阵通常是一个 2x2 的矩阵。由于线性变换本质上是通过矩阵运算来实现的，在需要展示对象如何在新的坐标系中变换时，转置矩阵尤其有用。

2. kwargs: 该参数允许您传递其他关键字参数，通常用于控制动画的外观和行为。这包括动画的持续时间（如 run_time）、延迟（如 lag_ratio）、路径弧度（path_arc）等可选设置。通过这些参数，用户能够更好地控制动画效果，以确保变换的动态表现既美观又符合预期。

方法功能

apply_transposed_matrix() 的主要功能在于将转置矩阵应用于场景中的对象，与 apply_matrix() 类似，但它使用的是变换的转置矩阵。这一过程如下：

1. 计算变换: 依据传入的转置矩阵，计算出对象在变换后的位置。通过与转置矩阵进行矩阵乘法，可以获取对象新位置的坐标。这对于理解数据或几何体在新维度上的表现尤为重要。

2. 更新对象: 接下来，将计算得出的新坐标应用于对象上。这一步通常涉及到重新定义对象的顶点，因此对象的形状和位置会发生变化。

3. 动画表现: 使用提供的 kwargs，可以设置动画的持续时间和视觉效果。例如，您可以调整动画的速度，使其在视觉上更加流畅，或者增加延迟以强调变换过程。

小结

总的来说，apply_transposed_matrix(transposed_matrix, **kwargs) 方法为用户提供了一种简便的方式，将转置矩阵应用于 Manim 中的对象，展示线性变换的影响。这种能力提高了数学可视化的表达力，使得抽象的数学概念能够通过动态展示变得更加直观，适用于数学教育、数据科学展示和各种创意动画制作。通过使用该方法，用户可以方便地探索和表达各种数学特性与变换关系。