人工智能数据基础之微积分入门-学习篇

目录

1. 导数概念
2. 常见导数和激活导数
3. python代码绘制激活函数
4. 微分概念和法则、积分概念
5. 微积分切线切面代码生成案例
6. 链式求导法则
7. 反向传播算法(重要)

一、概念

二、常见导数及激活导数

常见激活函数及其导数公式：
在神经网络中，激活函数用于引入非线性因素，使得神经网络能够拟合更加复杂的数据分布。没有激活函数的神经网络本质上只是一个线性模型，而添加了非线性激活函数后，神经网络可以表示非线性的决策边界。使得网络能够解决复杂的非线性问题。

三、python绘制以上激活函数

sigmoid函数:
Sigmoid函数将输入值映射到(0, 1)之间，常用于二分类问题的输出层。然而，它容易出现梯度消失问题，特别是在输入值接近0或1时，梯度接近于0，导致网络训练缓慢。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
#sigmoid公式
def sigmoid(x):return 1/(1+np.exp(-x))
#绘制图形方法 func数学公式，可变参数x，图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y = func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel('x') #x轴plot.ylabel('y') #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value = np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围，-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(sigmoid,x_value,'sigmoid')

运行如下：

tanh函数：
Tanh函数将输入值映射到(-1, 1)之间，输出均值为0，有助于中心化数据。与Sigmoid函数类似，它也容易出现梯度消失问题，但程度相对较轻。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
#tanh公式 双曲正切函数（Tanh函数）
def tanh(x):return np.tanh(x)
#绘制图形方法 func数学公式，可变参数x，图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y = func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel('x') #x轴plot.ylabel('y') #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value = np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围，-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(tanh,x_value,'tanh')

结果如下：

ReLU函数：
ReLU函数简单高效，能够解决梯度消失问题（在正数区域）。然而，它存在神经元“死亡”问题，即当输入小于0时，梯度为0，导致神经元无法更新。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
#ReLU函数（Rectified Linear Unit）
def relu(x):return np.maximum(0, x)
#绘制图形方法 func数学公式，可变参数x，图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y = func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel('x') #x轴plot.ylabel('y') #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value = np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围，-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(relu,x_value,'ReLU')

执行如下:

Leaky ReLU函数:
Leaky ReLU函数通过引入一个小的斜率α，解决了ReLU函数中的“死亡”问题。它保留了ReLU函数的优点，同时避免了神经元无法更新的问题。
alpha=0.01是可变的，值可以根据实际情况定义

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
# Leaky ReLU函数
def leaky_relu(x,alpha=0.01):return np.where(x > 0, x, x*alpha) #x >0时，返回x,否则 x*0.01
#绘制图形方法 func数学公式，可变参数x，图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y = func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel('x') #x轴plot.ylabel('y') #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value = np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围，-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(leaky_relu,x_value,'leaky_relu')

返回结果：

#ELU函数（Exponential Linear Unit）:
ELU函数融合了ReLU和Leaky ReLU的优点，具有负数饱和区域，对噪声有一定的鲁棒性。然而，其计算量相对较大，因为包含指数运算。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
#ELU函数（Exponential Linear Unit）
def elu(x,alpha=1):return np.where(x > 0, x, alpha*(np.exp(x) - 1))
#绘制图形方法 func数学公式，可变参数x，图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y = func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel('x') #x轴plot.ylabel('y') #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value = np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围，-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(elu,x_value,'elu')

结果如下：

四：微分、积分

1. 微分的定义：

微分是求函数在某一点的变化率。

2. 微分的三个法则：

在微积分中，微分（导数）的加法法则、乘法法则和除法法则（也称为商的导数法则）是求解复合函数导数的基本工具。这些法则允许我们将复杂的函数分解为更简单的部分，并分别求导，然后再以特定的方式组合起来。

3. 积分

定积分的值就是这个封闭图形的面积。

五、微积分切线切面代码生成案例

1. 用Python展示二维图像的切线

用代码绘制x^2的函数图像，并绘制函数在x=1处的切线

Python代码如下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt#定义一个函数f(x)  求x平方的函数
def f(x):return x ** 2
#定义函数的导数
def df(x):return 2 * x
#绘制原始函数 定义x的取值范围，中间均匀拆分出100个点
x = np.linspace(-3,3,100)
y = f(x) #y是要求导的这条曲线
#设置画面大小 8 * 6 的尺寸比例
plt.figure(figsize=(8,6))
#绘制图像添加标注
plt.plot(x,y,label='f(x) = x^2')
#计算x = 1时的导数和切线
x1 = 1
y1 = f(x1)
scope = df(x1) #导数
#切线方程 y = m(x-x1) + y1
def tangent_line(x,x1,y1,scope):return scope * (x - x1) + y1
#在切点附近绘制切线
x_tangent = np.linspace(x1 -1,x1 + 1,10) #限定切线x轴的范围
y_tangent = tangent_line(x_tangent,x1,y1,scope) #切线y轴的范围
#绘制切线图像，添加标题
plt.plot(x_tangent,y_tangent,label='tangent at x = 1',color='red')
plt.scatter([x1],[y1],color='black') #定义标注切点颜色
#设置图像
plt.legend() #展示图线的label
plt.xlabel("x") #定义x轴名称
plt.ylabel("f(x)") #y轴名称
plt.title("Function and Tangent Line at a Point") #图片标题
plt.grid(True) #显示网格
plt.show()

2. 展示三维函数切面

用代码绘制以下三维图像，并绘制出三维图像的切面

Python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np#创建x,y数据点
# -5 - 5,中间拆分成100段
x = np.linspace(-5,5,100)
y = np.linspace(-5,5,100)
#把x,y放入meshgrid,生成网格坐标矩阵
x,y = np.meshgrid(x,y)
#定义三维函数
def f(x,y):return x ** 2 + y ** 2
#计算z的值  z是三维图形的高度
z = f(x,y)
#创建图形和轴
fig = plt.figure() #创建一个图形
#111代表在图像的第一行第一列第一个位置添加一个图，在这个图上画三维图像
ax = fig.add_subplot(111,projection='3d')
#绘制表面 plot_surface用来绘制三维图  颜色使用viridis alpha代表画面的透明度
surf = ax.plot_surface(x,y,z,cmap="viridis",alpha=0.5)
#定义要突出显示的点 曲面和切面相交的点的x轴和y轴的值
point_x,point_y = 1.0,1.0
point_z = f(point_x,point_y) #z轴的值
#绘制出该相交的点位，s=50代表点大小为50
ax.scatter(point_x,point_y,point_z,color='red',s=50)
#为了方便画出切面，需先算出切面的法线
normal = np.array([2*point_x,2*point_y,-1])
#定义平面上的所有点，x_plane,y_plane,z_plane
x_plane = np.linspace(-5,5,10)
y_plane = np.linspace(-5,5,10)
#把x_plane y_plane转化为网格点坐标
x_plane,y_plane = np.meshgrid(x_plane,y_plane)
#normal[0]代表x轴的变量， normal[1] y轴变量 normal[2] z轴变量
z_plane = (-normal[0] * (x_plane-point_x) - normal[1] * (y_plane-point_y) /normal[2] + point_z)
#绘制切平面
ax.plot_surface(x_plane,y_plane,z_plane,color='yellow',alpha=0.5)
#设置标题和坐标轴
ax.set_xlabel('x asis')
ax.set_ylabel('y asis')
ax.set_zlabel('z asis')
ax.set_title("3D Surface Plot with Tangent Plane")
plt.show()

六、链式求导法则

七、反向传播算法

简介

反向传播算法（Backpropagation Algorithm），简称BP算法，是一种用于训练人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）的常用且有效的算法。它建立在梯度下降法的基础上，通过计算网络预测与实际结果之间的误差，并将这个误差反向传播到网络中的每一层，从而调整网络中每个权重的值，以逐步优化网络的学习过程。

反向传播算法的基本原理

反向传播算法的基本原理是利用链式法则（Chain Rule）进行求导。在神经网络中，数据通过前向传播得到预测输出，然后计算预测输出与真实标签之间的损失（或误差）。接着，通过反向传播算法，将损失从输出层向输入层逐层反向传播，计算每一层权重和偏置的梯度。最后，利用这些梯度来更新网络的参数，以减小损失。

反向传播算法步骤概述

前向传播： 首先，给定一个输入样本，按照当前网络的权重和偏置，通过每一层传递这个输入，直到最后一层，得到网络的预测输出。
计算损失： 使用损失函数（如均方误差或交叉熵）计算网络预测输出与实际目标输出之间的差异。
梯度计算： 通过链式法则计算损失函数相对于每个权重的梯度。这个过程从输出层开始，向后传播到输入层。在每一步中，都会计算当前层的误差项（也称为局部梯度），然后根据当前层的权重将误差分配给前一层。
权重更新： 一旦得到了每个权重的梯度，就可以使用某种形式的梯度下降法（例如批量梯度下降、随机梯度下降或小批量梯度下降）来调整权重，使损失函数减少。

反向传播算法的关键要素

学习率（Learning Rate）： 决定了参数更新的步长，过大的学习率可能导致震荡，过小的学习率可能导致收敛速度过慢。
激活函数（Activation Function）： 影响神经元的输出，常见的激活函数包括sigmoid、ReLU等。
损失函数（Loss Function）： 衡量网络预测输出与真实标签之间的差距，常见的损失函数包括均方误差（MSE）和交叉熵损失函数。
梯度下降（Gradient Descent）： 利用梯度信息来更新网络参数的优化算法

这里我画了一个三层的神经元，x1,x2代表输入，y代表输出，z1,z2,z3代表中间变量

计算过程：


梯度更新计算：

重新进行前向传播:

使用Python代码实现上述神经网络的反向传播

#模型参数初始化
def param_init():# 定义权重w_1_11 = 0.5w_1_12 = 0.5w_1_13 = 0.5w_1_21 = 0.5w_1_22 = 0.5w_1_23 = 0.5w_2_11 = 1.0w_2_21 = 1.0w_2_31 = 1.0layer_1_list = [w_1_11, w_1_12, w_1_13, w_1_21, w_1_22, w_1_23]layer_2_list = [w_2_11,w_2_21,w_2_31]return layer_1_list, layer_2_list#前向传播的函数 输出预测输出
def forword_porpagation(layer_1_list, layer_2_list):w_1_11, w_1_12, w_1_13, w_1_21, w_1_22, w_1_23 = layer_1_listw_2_11, w_2_21, w_2_31 = layer_2_list# 前向传播z_1 = x_1 * w_1_11 + x_2 * w_1_21z_2 = x_1 * w_1_12 + x_2 * w_1_22z_3 = x_1 * w_1_13 + x_2 * w_1_23y_pred = z_1 * w_2_11 + z_2 * w_2_21 + z_3 * w_2_31return y_pred#计算损失值  网络的输出和真实值相多少
def compute_loss(y_true, y_pred):loss = 0.5 * (y_true - y_pred) ** 2return loss#反向传播
def backword_propagation(layer_1_list, layer_2_list,learning_rate):w_1_11, w_1_12, w_1_13, w_1_21, w_1_22, w_1_23 = layer_1_listw_2_11, w_2_21, w_2_31 = layer_2_listz_1 = x_1 * w_1_11 + x_2 * w_1_21z_2 = x_1 * w_1_12 + x_2 * w_1_22z_3 = x_1 * w_1_13 + x_2 * w_1_23# 计算输出层关于损失函数的梯度d_loss_predictied_output = -(expected_out - y_pred)# 计算权重关于损失函数的梯度d_loss_w_2_11 = d_loss_predictied_output * z_1d_loss_w_2_21 = d_loss_predictied_output * z_2d_loss_w_2_31 = d_loss_predictied_output * z_3d_loss_w_1_11 = d_loss_predictied_output * w_2_11 * x_1d_loss_w_1_21 = d_loss_predictied_output * w_2_11 * x_2d_loss_w_1_12 = d_loss_predictied_output * w_2_21 * x_1d_loss_w_1_22 = d_loss_predictied_output * w_2_21 * x_2d_loss_w_1_13 = d_loss_predictied_output * w_2_31 * x_1d_loss_w_1_23 = d_loss_predictied_output * w_2_31 * x_2# 使用梯度下降法更新权重learning_rate = 1e-5w_2_11 -= learning_rate * d_loss_w_2_11w_2_21 -= learning_rate * d_loss_w_2_21w_2_31 -= learning_rate * d_loss_w_2_31w_1_11 -= learning_rate * d_loss_w_1_11w_1_12 -= learning_rate * d_loss_w_1_12w_1_13 -= learning_rate * d_loss_w_1_13w_1_21 -= learning_rate * d_loss_w_1_21w_1_22 -= learning_rate * d_loss_w_1_22w_1_23 -= learning_rate * d_loss_w_1_23layer_1_list = [w_1_11, w_1_12, w_1_13, w_1_21, w_1_22, w_1_23]layer_2_list = [w_2_11,w_2_21,w_2_31]return layer_1_list, layer_2_listif __name__ == '__main__':# 定义输入值和期望输出x_1 = 40.0x_2 = 80.0expected_out = 60.0  # 期望输出值learning_rate = 1e-5epoch = 100#初始化定义权重layer_1_list, layer_2_list = param_init()for i in range(epoch):y_pred = forword_porpagation(layer_1_list, layer_2_list)print(f"前向传播预测值为{y_pred}")loss = compute_loss(expected_out, y_pred)print(f"当前的Loss值为{loss}")layer_1_list, layer_2_list = backword_propagation(layer_1_list, layer_2_list, learning_rate)

结果如下图所示：

一直到：

可以看到经过100次循环，损失值越来越小， 网络的输出和真实值相差无限接近，达到了最终的目的。