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例1:取S3的子集S = {(12),(123)},S的生成子群包含哪些元?一个群的两个不同的子集会不会生成相同的子群?
解:(1)S的生成子群就是S3。证明[有不理解之处可以回头看看第27篇笔记中生成子群的定义]:
任取m,n∈Z,对于m,当m为奇数时,(12)ᵐ = (12),当m为偶数时,(12)ᵐ = (1);
对于n,当n=3k时,(123)ⁿ = (1),当n=3k+1时,(123)ⁿ = (123),当n=3k+2时,(123)ⁿ = (132);
因此(12)ᵐ o (123)ⁿ的所有可能的值为:(1),(12),(123),(132),(13),(23)这6个,而这6个元素组成的集合正是S3,因此S的生成子群是S3。
(2)同一个群的两个不同的子集可能会生成相同的子群。例如:
设S' = {(13),(132)},则S'的生成子群也是S3(证明同(1)),(1)中的S和(2)中的S'都是群S3的子集,这说明同一个群的两个不同的子集可能会生成相同的子群。
(3)补充:同一个群的两个不同的子集也有可能生成不同的子群,例如:
{(12)}和{(13)}都是S3的子集,但两者的生成子群分别是{(1),(12)}和{(1),(13)},这说明同一个群的两个不同的子集也有可能生成不同的子群。
例2:H是G的非空子集,且H中每一个元素的阶均有限,试证:“H是G的子群”当且仅当“对任意的a,b∈H,都有a o b∈H”。
证明:必要性:根据子群的定义及第一判定定理,可知必要性显然是成立的。
充分性:若对任意的a,b∈H,都有a o b∈H,则当b=a时,有a^2∈H,由此可推出a^3,a^4,……∈H,
又H中每一个元素的阶都是有限的,因此设|a| = n,则a^n = e,从而a的逆元a^(-1) = e o a^(-1) = a^n o a^(-1) = a^(n-1)∈H,
因此根据子群的第一判定定理,可推导出H是G的子群。
子群的陪集
定义1:H是G的子群,且a∈G,则称aH = {ah|h∈H}(Ha = {ha|h∈H})为子群H的左陪集(右陪集);若aH = Ha,则称它们为子群的陪集。
例:已知克莱因四元群K₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是四次交错群A₄的子群,即K₄⊆A₄,
(1)写出S₄中的所有成员;
(2)写出A₄中的所有成员;
(3)求(1)K₄,(123)K₄,(132)K₄;
(4)求K₄(1),K₄(123),K₄(132);
(5)比较第(3)问和第(4)问;
(6)求(124)K₄,(134)K₄,(12)(34)K₄,(14)(23)K₄。
解:(1)S₄ = {(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)};
(2)A₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)};
(3)(1)K₄ = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},(123)K₄ = {(123),(243),(142),(134)},(132)K₄ = {(132),(143),(234),(124)};
(4)K₄(1) = K₄,K₄(123) = {(123),(134),(243),(142)},K₄(132) = {(132),(234),(124),(143)};
(5)①不难发现:
(1)K₄∪(123)K₄∪(132)K₄ = A₄,这是A₄关于K₄的一个左陪集分解;
K₄(1)∪K₄(123)∪K₄(132) = A₄,这是A₄关于K₄的一个右陪集分解。
②经过比较,可发现(1)K₄ = K₄(1),(123)K₄ = K₄(123),(132)K₄ = K₄(132),即(1)K₄,(123)K₄,(132)K₄和K₄(1),K₄(123),K₄(132)都是K₄的陪集。
③经过比较可发现,(1)K₄,(123)K₄,(132)K₄和K₄(1),K₄(123),K₄(132)各自的元素个数和K₄一样,都是4,因此不难得出一个结论:左右陪集的阶与子群的阶相等,即:|aK₄| = |K₄a| = |K₄|。
(6)(124)K₄ = {(124),(234),(143),(132)},
(134)K₄ = {(134),(142),(243),(123)},
(12)(34)K₄ = {(12)(34),(1),(14)(23),(13)(24)},
(14)(23)K₄ = {(14)(23),(13)(24),(12)(34),(1)}。
(待续......)
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