MATLAB 使用教程 —— 矩阵和数组

矩阵和数组

MATLAB 是“matrix laboratory”的缩写形式。MATLAB 主要用于处理 整个的矩阵和数组，而其他编程语言大多逐个处理数值。

• 所有 MATLAB 变量都是多维数组，与数据类型无关。
• 矩阵是指通常用来进行线性代数运算的二维数组。

MATLAB 专门用于处理矩阵和数组操作。与其他编程语言相比，它能够更高效地处理这些数据结构，适用于线性代数、数据分析、图像处理等。

MATLAB 中矩阵和数组长什么样？

a = [1 2 3 4]   % 单行的叫数组，数组 a 包含四个元素，使用逗号 (,) 或空格分隔各元素a = [1 3 5; 2 4 6; 7 8 10]     % 多行的叫矩阵，使用分号分隔各行

再直观地来看，

这是数组 a：

这是矩阵 a：

MATLAB 怎么用矩阵计算？

MATLAB 常用的运算符和特殊字符如下表所示：

符号	描述
+	加；加法运算符
-	减；减法运算符
*	标量和矩阵乘法运算符
.*	数组乘法运算符
^	标量和矩阵求幂运算符
.^	数组求幂运算符
\	矩阵左除
/	矩阵右除
.\	阵列左除
./	阵列右除
:	向量生成；子阵提取
( )	下标运算；参数定义
[ ]	矩阵生成
.	点乘运算，常与其他运算符联合使用
…	续行标志；行连续运算符
,	分行符（该行结果不显示）
;	语句结束；分行符（该行结果显示）
%	注释标志
'	引用符号和转置运算符
.'	非共轭转置运算符
=	赋值运算符

为了说明 MATLAB 如何使用矩阵进行计算，这里提供一些具体例子：

创建和操作矩阵

% 创建一个 3x3 的矩阵
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];% 创建一个列向量
B = [10; 20; 30];% 矩阵乘法
C = A * B;

在这个例子中，A 是一个 3x3 的矩阵，B 是一个 3x1 的列向量。MATLAB 直接支持矩阵乘法 A * B，这在其他编程语言中可能需要手动编写嵌套循环实现。

创建矩阵的另一种方法是使用 ones、zeros 或 rand 等函数。例如，创建一个由零组成的 5×1 列向量。

z = zeros(5,1)

矩阵运算示例

% 创建矩阵
M = [1, 2; 3, 4];% 计算矩阵的转置
M_T = M';% 计算矩阵的逆
M_inv = inv(M);% 矩阵元素逐个平方
M_squared = M .^ 2;% 矩阵加法
N = [5, 6; 7, 8];
M_sum = M + N;

• M_T 是 M 的转置矩阵。
• M_inv 是 M 的逆矩阵，前提是 M 是可逆的。
• M_squared 逐个对 M 中的每个元素平方，而不是矩阵乘法。
• M_sum 是矩阵 M 和 N 的逐元素相加。

MATLAB 允许使用单一的算术运算符或函数来处理矩阵中的所有值。例如，a + 10 是对矩阵 a 的所有值都 +10， sin(a) 是对矩阵 a 的所有值取 sin 值。

使用 * 运算符执行标准矩阵乘法，这将计算行与列之间的内积。例如，确认矩阵乘以其逆矩阵可返回单位矩阵： p = a*inv(a)。
请注意，p 不是整数值矩阵。MATLAB 将数字存储为浮点值，算术运算可以区分实际值与其浮点表示之间的细微差别。

使用 format 命令可以显示多/少小数位数： format long ，format short。注意 format 仅影响数字显示，而不影响 MATLAB 对数字的计算或保存方式。

要执行元素级乘法（而非矩阵乘法），请使用 .* 运算符： p = a.*a

乘法、除法和幂的矩阵运算符分别具有执行元素级运算的对应数组运算符。例如，计算 a 的各个元素的三次方： a.^3

定义一个 3×3 的矩阵 a，

这是 a + 10 ，

这是 矩阵与其逆相乘得到单位矩阵， p = a*inv(a)，

使用 format long 显示更多小数位，

用 p = a.*a 执行元素级乘法（而非矩阵乘法），

使用 a.^3 计算元素级的矩阵的幂，

例如，在图像处理领域，图像可以表示为二维矩阵，其中每个元素代表 像素值。MATLAB 使得处理和分析这些矩阵变得简单。以下是一个灰度图像的示例操作：

% 读取图像并将其转换为灰度矩阵
I = imread('example.jpg');
grayImage = rgb2gray(I);% 对灰度图像应用卷积操作
kernel = [1, 1, 1; 0, 0, 0; -1, -1, -1];
filteredImage = conv2(double(grayImage), kernel, 'same');

MATLAB 的核心特性就是它内置的矩阵和数组处理功能，这允许用户以自然的数学语法编写程序，而无需手动实现低级矩阵运算。这对于需要处理大量数据的工程和科学计算非常有用。

串联

串联是将数组或矩阵连接起来形成更大数组的过程。在 MATLAB 中，方括号 [] 是串联运算符，它用于水平或垂直拼接数组。

当两个数组在行方向上进行拼接时，称为水平串联。例如：

A = [1, 2, 3];
B = [4, 5, 6];% 水平串联
C = [A, B];  % 结果是 C = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

在这个示例中，A 和 B 是两个行向量，通过 [] 拼接后形成了新的行向量 C。

当两个数组在列方向上进行拼接时，称为垂直串联。例如：

D = [7; 8; 9];
E = [10; 11; 12];% 垂直串联
F = [D; E];  % 结果是 F = [7; 8; 9; 10; 11; 12]'

在此例中，D 和 E 是列向量，通过 [] 垂直串联后形成了新的列向量 F。

可以将矩阵水平或垂直串联，但需要满足维度匹配的条件。例如：

M1 = [1, 2; 3, 4];
M2 = [5, 6; 7, 8];% 水平串联矩阵
H = [M1, M2];
% 结果是 H = [1, 2, 5, 6;
%             3, 4, 7, 8]% 垂直串联矩阵
V = [M1; M2];
% 结果是 V = [1, 2;
%             3, 4;
%             5, 6;
%             7, 8]

在水平串联 H 的情况下，矩阵的行数必须一致；而在垂直串联 V 中，矩阵的列数必须一致。

访问矩阵的元素

在 MATLAB 中，数组的索引从 1 开始。这与某些编程语言（如 Python、C 等）不同，这些语言的数组索引从 0 开始。

% 创建一个 3x3 的矩阵
M = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];% 访问矩阵的元素
element = M(2, 3);  % 结果是 6，表示第二行第三列的元素% 访问第一行的所有元素
firstRow = M(1, :);  % 结果是 [1, 2, 3]% 访问第三列的所有元素
thirdColumn = M(:, 3);  % 结果是 [3; 6; 9]

重要注意事项：

• MATLAB 的索引从 1 开始，这意味着第一个元素的索引是 1。
• 可以使用冒号运算符 : 来访问数组的范围，例如 A(2:4) 会访问 A 中从索引 2 到 4 的元素。
• 冒号还可以用于指定所有元素。例如，M(:, 2) 代表矩阵 M 的第二列的所有元素。

这种从 1 开始的索引对于 MATLAB 用户来说是标准，特别是在数学和工程应用中，因为它与线性代数中矩阵的常见表示方法一致。