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算法.图论-习题全集(Updating)

文章目录

  • 本节设置的意义
  • 并查集篇
    • 并查集简介以及常见技巧
    • 并查集板子(洛谷)
    • 情侣牵手问题
    • 相似的字符串组
    • 岛屿数量(并查集做法)
    • 省份数量
    • 移除最多的同行或同列石头
    • 最大的人工岛
    • 找出知晓秘密的所有专家
  • 建图及其拓扑排序篇
    • 链式前向星建图板子
    • 课程表

本节设置的意义

主要就是为了复习图论算法, 尝试从题目解析的角度,更深入的理解图论算法…

并查集篇

并查集简介以及常见技巧

并查集是一种用于大集团查找, 合并等操作的数据结构, 常见的方法有

  • find: 用来查找元素在大集团中的代表元素(这里使用的是扁平化的处理)
  • isSameSet: 用来查找两个元素是不是一个大集团的(其实就是find的应用)
  • union: 用来合并两大集团的元素

关于并查集打标签的技巧, 其实我们之前的size数组也是一种打标签的逻辑, 其实打标签就是给每一个集团的代表节点打上标签即可, 还有我们在并查集的题目中通常会设置一个sets作为集合的总数目(每次合并–), 这是一个常见的技巧, 并查集的细节我们在这里不进行过多的介绍, 在之前的章节中有细致的描述…

并查集板子(洛谷)

这里我们的并查集的板子使用的是洛谷的板子(小挂大的优化都没必要其实)

// 并查集模版(洛谷)
// 本实现用递归函数实现路径压缩,而且省掉了小挂大的优化,一般情况下可以省略
// 测试链接 : https://www.luogu.com.cn/problem/P3367import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;public class Main{public static int MAXN = 10001;public static int[] father = new int[MAXN];public static int n;public static void build() {for (int i = 0; i <= n; i++) {father[i] = i;}}public static int find(int i) {if (i != father[i]) {father[i] = find(father[i]);}return father[i];}public static boolean isSameSet(int x, int y) {return find(x) == find(y);}public static void union(int x, int y) {father[find(x)] = find(y);}public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {n = (int) in.nval;build();in.nextToken();int m = (int) in.nval;for (int i = 0; i < m; i++) {in.nextToken();int z = (int) in.nval;in.nextToken();int x = (int) in.nval;in.nextToken();int y = (int) in.nval;if (z == 1) {union(x, y);} else {out.println(isSameSet(x, y) ? "Y" : "N");}}}out.flush();out.close();br.close();}}

情侣牵手问题

在这里插入图片描述
本题的突破点就是如果一个大集团里面有 n 对情侣, 那么我们至少要交换 n - 1次(通过把情侣进行编号)

// 这次我们尝试使用轻量版的并查集来解决这道题
class Solution {private static final int MAX_CP = 31;private static final int[] father = new int[MAX_CP];private static int sets = 0;private static int find(int i) {if (i != father[i]) {father[i] = find(father[i]);}return father[i];}private static boolean isSameSet(int a, int b) {return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b) {int fa = find(a);int fb = find(b);if (fa != fb) {father[fa] = fb;sets--;}}// 初始化并查集private static void build(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {father[i] = i;}sets = n;}public int minSwapsCouples(int[] row) {build(row.length / 2);for (int i = 0; i < row.length; i += 2) {int n1 = row[i] / 2;int n2 = row[i + 1] / 2;union(n1, n2);}return row.length / 2 - sets;}
}

相似的字符串组

在这里插入图片描述
其实就是枚举每一个位置, 然后判断是不是一组的就OK了

// 还是使用一下轻量级的并查集板子
class Solution {private static final int MAX_SZ = 301;private static final int[] father = new int[MAX_SZ];private static int sets = 0;private static int find(int i) {if (i != father[i]) {father[i] = find(father[i]);}return father[i];}private static boolean isSameSet(int a, int b) {return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b) {int fa = find(a);int fb = find(b);if (fa != fb) {father[fa] = fb;sets--;}}// 初始化并查集private static void build(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {father[i] = i;}sets = n;}public int numSimilarGroups(String[] strs) {build(strs.length);// 主流程的时间复杂度是 O(n ^ 2), 遍历strs的每一个位置int m = strs[0].length();for (int i = 0; i < strs.length; i++) {for (int j = i + 1; j < strs.length; j++) {// 获取到两个字符串, 然后计算两个字符串的不同字符数量String s1 = strs[i];String s2 = strs[j];int diff = 0;for (int k = 0; k < m && diff < 3; k++) {if (s1.charAt(k) != s2.charAt(k))diff++;}if (diff == 0 || diff == 2)union(i, j);}}return sets;}
}

岛屿数量(并查集做法)

在这里插入图片描述
这道题的解法非常多, 比如多源 BFS , 洪水填充(其实就是递归加回溯) , 还有今天介绍的并查集的方法(这个方法不是最好的)

// 这个题的并查集做法只要注意一点就可以了: 把一个二维下标转化为一维下标
class Solution {private static final int MAX_SZ = 301 * 301;private static final int[] father = new int[MAX_SZ];private static int sets = 0;private static int row = 0;private static int col = 0;// 模拟bfs的move数组private static final int[] move = { -1, 0, 1, 0, -1 };private static int find(int i) {if (i != father[i]) {father[i] = find(father[i]);}return father[i];}private static boolean isSameSet(int a, int b) {return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b) {int fa = find(a);int fb = find(b);if (fa != fb) {father[fa] = fb;sets--;}}private static void build(char[][] grid, int rl, int cl) {row = rl;col = cl;sets = 0;for (int i = 0; i < row; i++) {for (int j = 0; j < col; j++) {if (grid[i][j] == '1') {sets++;father[getIndex(i, j)] = getIndex(i, j);}}}}public int numIslands(char[][] grid) {// 初始化并查集并统计 '1' 的数量build(grid, grid.length, grid[0].length);// 遍历grid进行合并for (int i = 0; i < row; i++) {for (int j = 0; j < col; j++) {// 向四个方向扩展if (grid[i][j] == '1') {for (int k = 0; k < 4; k++) {int nx = i + move[k];int ny = j + move[k + 1];if (nx >= 0 && nx < row && ny >= 0 && ny < col && grid[nx][ny] == '1') {union(getIndex(i, j), getIndex(nx, ny));}}}}}return sets;}// 二维下标转一维下标private static int getIndex(int i, int j) {return i * col + j;}
}

省份数量

在这里插入图片描述
没什么可说的, 就是一个简单的并查集的思路

class Solution {// 这其实也是一个并查集的题private static final int MAXM = 201;private static final int[] father = new int[MAXM];private static final int[] size = new int[MAXM];private static int sets = 0;private static int find(int i){if(i != father[i]){father[i] = find(father[i]);}return father[i];}private static boolean isSameSet(int a, int b){return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b){if(!isSameSet(a, b)){int fa = find(a);int fb = find(b);if(size[fa] > size[fb]){father[fb] = fa;size[fa] += size[fb];}else{father[fa] = fb;size[fb] += size[fa];}sets--;}}private static void build(int n){for(int i = 0; i < n; i++){father[i] = i;size[i] = 1;}sets = n;}public int findCircleNum(int[][] isConnected) {// 初始化并查集build(isConnected.length);for(int i = 0; i < isConnected.length; i++){int[] info = isConnected[i];for(int j = 0; j < info.length; j++){if(info[j] == 1){union(i, j);}}}return sets;}
}

移除最多的同行或同列石头

在这里插入图片描述
其实就是每一个集团最后都会被消成一个元素, 我们中间用哈希表加了一些关于离散化的处理的技巧

// 使用一下轻量版本的并查集加上哈希表进行离散化的操作
class Solution {private static Map<Integer, Integer> rowFirst = new HashMap<>();private static Map<Integer, Integer> colFirst = new HashMap<>();private static final int MAXM = 1001;private static final int[] father = new int[MAXM];private static int sets = 0;private static int find(int i){if(i != father[i]){father[i] = find(father[i]);}return father[i];}private static boolean isSameSet(int a, int b){return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b){int fa = find(a);int fb = find(b);if(fa != fb){father[fa] = fb;sets--;}}// 初始化并查集private static void build(int n){for(int i = 0; i < n; i++){father[i] = i;}sets = n;}public int removeStones(int[][] stones) {// 清空哈希表rowFirst.clear();colFirst.clear();// 初始化并查集build(stones.length);for(int i = 0; i < stones.length; i++){int row = stones[i][0];int col = stones[i][1];if(!rowFirst.containsKey(row)){rowFirst.put(row, i);}else{union(rowFirst.get(row), i);}if(!colFirst.containsKey(col)){colFirst.put(col, i);}else{union(colFirst.get(col), i);}}return stones.length - sets;}}

最大的人工岛

在这里插入图片描述
本题注意的点就是, 首先我们二维的矩阵, 想要使用并查集, 需要先把二维的坐标转化为一维的坐标, 然后通过一维的坐标使用并查集, 首先把所有的岛进行合并, 然后来到一个 空位置 , 就尝试向四个方向进行扩展尝试进行岛屿的链接, 最后返回最大的连成一片的岛屿数量即可

/*** 本题我们是采用的并查集(轻量板子)的方法来做*  核心点就是首先使用 并查集 (二维下标转换一维下标) 进行人工岛的合并*  本题需要我们使用size的辅助信息, 因为 size 也相当于打标签的技巧*  然后枚举每一个位置进行岛屿的合并*/
class Solution {private static final int MAX_LEN = 501;private static final int MAX_SIZE = MAX_LEN * MAX_LEN;private static final int[] father = new int[MAX_SIZE];private static final int[] size = new int[MAX_SIZE];private static int len = 0;private static final int[] move = {-1, 0, 1, 0, -1};private static int find(int i){if(i != father[i]){father[i] = find(father[i]);}return father[i];}private static boolean isSameSet(int a, int b){return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b){if(!isSameSet(a, b)){int fa = find(a);int fb = find(b);if(size[fa] > size[fb]){father[fb] = fa;size[fa] += size[fb];}else{father[fa] = fb;size[fb] += size[fa];}}}// 初始化并查集private static void build(int[][] grid){len = grid.length;for(int i = 0; i < len; i++){for(int j = 0; j < len; j++){if(grid[i][j] == 1){int index = getIndex(i, j);father[index] = index;size[index] = 1;}}}}// 二维下标转换为一维下标private static int getIndex(int i, int j){return i * len + j;}public int largestIsland(int[][] grid) {build(grid);int res = 0;// 遍历矩阵进行合并for(int i = 0; i < len; i++){for(int j = 0; j < len; j++){if(grid[i][j] == 1){// 此时向四周进行扩展合并for(int k = 0; k < 4; k++){int nx = i + move[k];int ny = j + move[k + 1];if(nx >= 0 && nx < len && ny >= 0 && ny < len && grid[nx][ny] == 1){union(getIndex(i, j), getIndex(nx, ny));}}   // 尝试进行人工岛最大面积的更新res = Math.max(res, size[find(getIndex(i, j))]);}}}// 遍历所有的 0 位置, 尝试向四周进行枚举更新最大值// 创建一个map用来进行去重Set<Integer> set = new HashSet<>();for(int i = 0; i < len; i++){for(int j = 0; j < len; j++){if(grid[i][j] == 0){set.clear();int tempRes = 1;// 向四周进行扩展然后尝试进行岛屿链接for(int k = 0; k < 4; k++){int nx = i + move[k];int ny = j + move[k + 1];if(nx >= 0 && nx < len && ny >= 0 && ny < len && grid[nx][ny] == 1){int f = find(getIndex(nx, ny));if(!set.contains(f)){tempRes += size[f];set.add(f);}}}res = Math.max(res, tempRes); }}}return res;}
}

找出知晓秘密的所有专家

在这里插入图片描述
本题我们运用的是一种打标签的技巧, 还有就是注意的是并查集如何进行拆解, 其实就是修改一下father数组的内容, 然后把size数组的值置为1即可

/*** 本题主要就是涉及到并查集的打标签的技巧, 还有如何拆散一个并查集* 首先就是关于并查集打标签: 其实就是给集团领袖节点打上标签信息(类似size数组)* 关于拆散并查集: 其实就是把father数组重新设置为自身, size置为1(如果有的话)*/class Solution {// 并查集轻量化的板子private static final int MAXN = 100001;private static final int[] father = new int[MAXN];private static final boolean[] knowSecrets = new boolean[MAXN];private static int find(int i){if(i != father[i]){father[i] = find(father[i]);}return father[i];}private static boolean isSameSet(int a, int b){return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b){if(!isSameSet(a, b)){father[find(a)] = find(b);}}// 初始化并查集private static void build(int n, int firstPerson){for(int i = 0; i < n; i++){father[i] = i;knowSecrets[i] = false;}// 初始化知道秘密的集团(只需要给领袖节点打上标签就好了)union(0, firstPerson);knowSecrets[0] = true;knowSecrets[firstPerson] = true;}public List<Integer> findAllPeople(int n, int[][] meetings, int firstPerson) {// 首先初始化并查集build(n, firstPerson);// 把meetings进行排序便于处理Arrays.sort(meetings, (a, b) -> a[2] - b[2]);int l = 0;int r = 0;while(l < meetings.length){// 首先把r指针置为l的位置r = l;int tempL = l;// 向右侧扩充(结束的时候r指向的下一个不同的元素的边界位置)while(r < meetings.length && meetings[r][2] == meetings[l][2]){r++;}// 先便利一边并查集进行集合元素的合并while(l < r){union(meetings[l][0], meetings[l][1]);if(isSameSet(0, meetings[l][0])) knowSecrets[meetings[l][0]] = true;if(isSameSet(0, meetings[l][1])) knowSecrets[meetings[l][1]] = true;l++;}// 再次便利一边这个时间点的元素进行集合的拆解l = tempL;while(l < r){if(!isSameSet(meetings[l][0], 0) && !isSameSet(meetings[l][1], 0)){father[meetings[l][0]] = meetings[l][0];father[meetings[l][1]] = meetings[l][1];}l++;}l = r;}// 进行元素的收集List<Integer> res = new ArrayList<>();for(int i = 0; i < n; i++){if(isSameSet(0, i)){res.add(i);}}return res;}
}

建图及其拓扑排序篇

建图的方法有三种, 邻接表, 邻接矩阵, 以及链式前向星, 我们更推荐的是静态空间的链式前向星的建图法, 下面是链式前向星的板子

链式前向星建图板子

/*** 关于大厂笔试以及比赛中的建图方式的测试, 其实就是使用静态的数组空间进行建图* 我们设置 3 / 4 / 5 个静态数组空间* head数组(存储点对应的头边编号), next数组(边对应下一条边的编号), to数组(边去往的点), weight数组(边对应的权值), indegree数组(点对应的入度)* 关于拓扑排序(topoSort), 我们最常用的方法其实就是零入度删除法(使用队列, 必要的时候使用小根堆), 关于是否环化的判断我们使用计数器实现* 下面是我们提供的链式建图的板子, 以及拓扑排序的板子*/public class createGraphByLinkedProStar{// 设置点的最大数量private static final int MAXN = 10001;// 设置边的最大数量private static final int MAXM = 10001;// head数组private static final int[] head = new int[MAXN];// next数组private static final int[] next = new int[MAXM];// to数组private static final int[] to = new int[MAXM];// weight数组private static final int[] weight = new int[MAXM];// indegree数组(统计入度)private static final int[] indegree = new int[MAXN];// cnt统计边的数量private static int cnt = 1;// 添加边的方法(顺便统计入度)private static void addEdge(int u, int v, int w){next[cnt] = head[u];to[cnt] = v;weight[cnt] = w;head[u] = cnt++;indegree[v]++;}// 初始化静态空间(只需要清空head以及indegree数组)然后建图(这里是有向带权图)private static void build(int n, int[][] edges){cnt = 1;for(int i = 0; i <= n; i++){indegree[i] = 0;head[i] = 0;}for(int[] edge : edges){addEdge(edge[0], edge[1], edge[2]);}}// 拓扑排序(topoSort的板子)private static int[] topoSort(int n){// 首先创建一个队列(将来可以作为结果返回)int[] queue = new int[n];int l = 0;int r = 0;// 遍历入度表, 添加所有0入度的点进队列for(int i = 0; i < n; i++){if(indegree[i] == 0){queue[r++] = i;}}// 利用链式前向星的遍历开始跑拓扑排序int elemCnt = 0;while(l < r){int cur = queue[l++];elemCnt++;for(int ei = head[cur]; ei != 0; ei = next[ei]){if(--indegree[to[ei]] == 0){queue[r++] = to[ei];}}}return elemCnt == n ? queue : new int[0];}}

课程表

标准的使用拓扑排序的板子 + 加上链式前向星建图法直接打败 100 %

在这里插入图片描述

class Solution {// 设置点的最大数量private static final int MAXN = 10001;// 设置边的最大数量private static final int MAXM = 10001;// head数组private static final int[] head = new int[MAXN];// next数组private static final int[] next = new int[MAXM];// to数组private static final int[] to = new int[MAXM];// indegree数组(统计入度)private static final int[] indegree = new int[MAXN];// cnt统计边的数量private static int cnt = 1;// 添加边的方法(顺便统计入度)private static void addEdge(int u, int v){next[cnt] = head[u];to[cnt] = v;head[u] = cnt++;indegree[v]++;}// 初始化静态空间(只需要清空head以及indegree数组)然后建图(这里是有向带权图)private static void build(int n, int[][] edges){cnt = 1;for(int i = 0; i <= n; i++){indegree[i] = 0;head[i] = 0;}for(int[] edge : edges){addEdge(edge[1], edge[0]);}}// 拓扑排序(topoSort的板子)private static int[] topoSort(int n){// 首先创建一个队列(将来可以作为结果返回)int[] queue = new int[n];int l = 0;int r = 0;// 遍历入度表, 添加所有0入度的点进队列for(int i = 0; i < n; i++){if(indegree[i] == 0){queue[r++] = i;}}// 利用链式前向星的遍历开始跑拓扑排序int elemCnt = 0;while(l < r){int cur = queue[l++];elemCnt++;for(int ei = head[cur]; ei != 0; ei = next[ei]){if(--indegree[to[ei]] == 0){queue[r++] = to[ei];}}}return elemCnt == n ? queue : new int[0];}public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {build(numCourses, prerequisites);return topoSort(numCourses);}
}

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1、简介 1.1 Spark简介 Spark是加州大学伯克利分校AMP实验室&#xff08;Algorithms, Machines, and People Lab&#xff09;开发通用内存并行计算框架。Spark在2013年6月进入Apache成为孵化项目&#xff0c;8个月后成为Apache顶级项目&#xff0c;速度之快足见过人之处&…...

Debian系统简介

目录 Debian系统介绍 Debian版本介绍 Debian软件源介绍 软件包管理工具dpkg dpkg核心指令详解 安装软件包 卸载软件包 查询软件包状态 验证软件包完整性 手动处理依赖关系 dpkg vs apt Debian系统介绍 Debian 和 Ubuntu 都是基于 Debian内核 的 Linux 发行版&#xff…...

Ascend NPU上适配Step-Audio模型

1 概述 1.1 简述 Step-Audio 是业界首个集语音理解与生成控制一体化的产品级开源实时语音对话系统&#xff0c;支持多语言对话&#xff08;如 中文&#xff0c;英文&#xff0c;日语&#xff09;&#xff0c;语音情感&#xff08;如 开心&#xff0c;悲伤&#xff09;&#x…...

JDK 17 新特性

#JDK 17 新特性 /**************** 文本块 *****************/ python/scala中早就支持&#xff0c;不稀奇 String json “”" { “name”: “Java”, “version”: 17 } “”"; /**************** Switch 语句 -> 表达式 *****************/ 挺好的&#xff…...

css3笔记 (1) 自用

outline: none 用于移除元素获得焦点时默认的轮廓线 broder:0 用于移除边框 font-size&#xff1a;0 用于设置字体不显示 list-style: none 消除<li> 标签默认样式 margin: xx auto 版心居中 width:100% 通栏 vertical-align 作用于行内元素 / 表格单元格&#xff…...

听写流程自动化实践,轻量级教育辅助

随着智能教育工具的发展&#xff0c;越来越多的传统学习方式正在被数字化、自动化所优化。听写作为语文、英语等学科中重要的基础训练形式&#xff0c;也迎来了更高效的解决方案。 这是一款轻量但功能强大的听写辅助工具。它是基于本地词库与可选在线语音引擎构建&#xff0c;…...

python报错No module named ‘tensorflow.keras‘

是由于不同版本的tensorflow下的keras所在的路径不同&#xff0c;结合所安装的tensorflow的目录结构修改from语句即可。 原语句&#xff1a; from tensorflow.keras.layers import Conv1D, MaxPooling1D, LSTM, Dense 修改后&#xff1a; from tensorflow.python.keras.lay…...

论文笔记——相干体技术在裂缝预测中的应用研究

目录 相关地震知识补充地震数据的认识地震几何属性 相干体算法定义基本原理第一代相干体技术&#xff1a;基于互相关的相干体技术&#xff08;Correlation&#xff09;第二代相干体技术&#xff1a;基于相似的相干体技术&#xff08;Semblance&#xff09;基于多道相似的相干体…...