数学建模——Topsis法

数模评价类（2）——Topsis法

概述

Topsis:Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution

也称优劣解距离法，该方法的基本思想是，通过计算每个备选方案与理想解和负理想解之间的距离，从而评估每个方案的优劣。

案例

已知下列20条河流几项指标数据，指标有含氧量、PH值、细菌总数、植物性营养物量，试对20条河流的水质进行评价和排序。

思考：适不适合使用层次分析法进行评价？

答：不适合。原因：1、决策层的方案数为20>15,很难构造通过一致性检验的判断矩阵，并且一致性检验中RI可查的最大n为15；2、若使用层次分析法，没有充分利用已知方案各向指标数据进行评价。

数据集基本概念：

如案例中所给数据表格构成一个典型的数据集，每一行代表一个记录/数据项/对象，

第一列构成索引列（index），除每一列外每一列代表一个指标/特征

Topsis步骤

Step1：正向化处理

指标分类：

在该案例中，极大型：含氧量，极小型：细菌含量，中间型：PH值，区间型：营养量

正向化处理即将所有指标转化为极大型指标

符号说明：x代表数据集中对应特征的一列，$x_i$表示该列第i行元素

极小型->极大型
x i ^ = m a x { x } − x i \hat{x_{i}}=max\{x\}-x_{i}\\ xi​^​=max{x}−xi​
如果所有元素为正数，可取倒数实现正向化

中间型->极大型
x i ^ = 1 − x i − x b e s t m a x { x i − x b e s t } \hat{x_i}=1-\frac{x_i-x_{best}}{max\{x_i-x_{best}\}} xi​^​=1−max{xi​−xbest​}xi​−xbest​​

注：这种正向化处理将数据值映射到[0,1]，数据越趋近中间理想值，映射值越趋近于1

区间型->极大型

注：区间型指标正向化需考虑左右两侧，类似中间型指标的正向化方法，当两侧值越趋近理想趋近边界值时，映射值越趋近于1

Step2:正向化矩阵标准化

标准化处理是矩阵预处理中基础性的步骤，其目的是消除不同指标量纲的影响，这里采用向量归一化（也称为L2正则化，即将每一列向量转化为单位特征列向量）

Step3：计算得分并归一化

Topsis优劣解的核心思想就是先确定两个正（负）理想的数据向量，然后将每个对象数据向量对其评分。由于我们已经将所有指标正向化，因此抽出每一列的最大值构成最大值向量$Z_{+}$，抽出每一列的最小值构成最小值向量$Z_{-}$，对于每个评价对象数据向量$Z_i$，我们可以用向量距离公式计算$Z_i$与$Z_{+}$和$Z_{-}$​的距离$D_i^{+}和D_i^{-}$,然后得到每个对象未归一化的评分
$$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{-}+D_i^{+}}$$

归一化后就得到各对象最终评分

考虑指标权重系数，对算法进行修改

权重系数可由构造判断矩阵法得到，也可以由熵权法【后续讨论】得到

运行python代码结果：

简要分析结果可知I、J、K河流水质最好，N河流水质明显最差