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Leetcode.1250 检查「好数组」

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Leetcode.1250 检查「好数组」 Rating : 1983

题目描述

给你一个正整数数组 nums,你需要从中任选一些子集,然后将子集中每一个数乘以一个 任意整数,并求出他们的和。

假如该和结果为 1,那么原数组就是一个「好数组」,则返回 True;否则请返回 False

示例 1:

输入:nums = [12,5,7,23]
输出:true
解释:挑选数字 5 和 7。
53 + 7(-2) = 1

示例 2:

输入:nums = [29,6,10]
输出:true
解释:挑选数字 29, 6 和 10。
291 + 6(-3) + 10*(-1) = 1

示例 3:

输入:nums = [3,6]
输出:false

提示:

  • 1<=nums.length<=1051 <= nums.length <= 10^51<=nums.length<=105
  • 1<=nums[i]<=1091 <= nums[i] <= 10^91<=nums[i]<=109

分析:

解决本题需要学习下 裴蜀定理(Bézout’s identity)。

多个整数之间的裴蜀定理

a1....ana_1....a_na1....annnn 个整数,ddd 是这个nnn个数的最大公约数,那么就肯定存在 x1....xnx_1....x_nx1....xn 使得 a1∗x1...an∗xn=da_1 * x_1...a_n * x_n = da1x1...anxn=d

特殊的情况是,只要当 a1...ana_1...a_na1...an 中有存在两个或以上的数互质,那么就一定存在 x1,x2...xnx_1,x_2...x_nx1,x2...xn 使得 a1∗x1+a2∗x2...an∗xn=1a_1 * x_1 + a_2 * x_2...a_n * x_n = 1a1x1+a2x2...anxn=1

时间复杂度:O(nlogm)O(nlogm)O(nlogm)

代码:

class Solution {
public://求 a 和 b 的最大公约数int gcd(int a,int b){return b ? gcd(b,a%b) : a;}bool isGoodArray(vector<int>& nums) {int g = 0;for(auto x:nums){g = gcd(g,x);//g == 1 说明 nums 中一定存在两个数以上的互质if(g == 1) break;}return g == 1;}
};

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