克拉默法则证明(Cramer‘s Rule)

若 n 个方程 n 个未知量构成的非齐次线性方程组：

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ......\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}\end{array}$$

的系数行列式 $|A|\ne 0$，则方程组有唯一解，且

$$x_i=\frac{|A_i|}{|A|},i=1,2,...,n$$

其中 $|A_i|$ 是 $|A|$ 中的 $i$ 列元素（即 $x_i$ 的系数）替换成方程组右端的常数项 $b_1,b2,...,b_n$ 所构成的行列式。

证明：

使用 $a_1,...,a_n$ 表示 A 的列，用 $e_1,...,e_n$ 表示 $n\times n$的单位阵$I$的列。由于有 $Ax=b$，由矩阵乘法：
$$\begin{array}{rl}A\cdot [e_1,...,x,...,e_n]& =[A{e}_1,...,Ax,...,A{e}_n]\\ & =[a_1,...,b,...,a_n]\\ & =A_i\end{array}$$
记 $[e_1,...,x,...,e_n]$ 为 $I_i(x)$，

两边求行列式：

$$|A|\cdot |I_i(x)|=|A_i|$$
其中：$|I_i(x)|=x_i$

所以有： $x_i=\frac{|A_i|}{|A|},|A|\ne 0$，得证。