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西瓜数据集D如下:

编号	色泽	根蒂	敲声	纹理	脐部	触感	好瓜
1	青绿	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	是
2	乌黑	蜷缩	沉闷	清晰	凹陷	硬滑	是
3	乌黑	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	是
4	青绿	蜷缩	沉闷	清晰	凹陷	硬滑	是
5	浅白	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	是
6	青绿	稍蜷	浊响	清晰	稍凹	软粘	是
7	乌黑	稍蜷	浊响	稍糊	稍凹	软粘	是
8	乌黑	稍蜷	浊响	清晰	稍凹	硬滑	是
9	乌黑	稍蜷	沉闷	稍糊	稍凹	硬滑	否
10	青绿	硬挺	清脆	清晰	平坦	软粘	否
11	浅白	硬挺	清脆	模糊	平坦	硬滑	否
12	浅白	蜷缩	浊响	模糊	平坦	软粘	否
13	青绿	稍蜷	浊响	稍糊	凹陷	硬滑	否
14	浅白	稍蜷	沉闷	稍糊	凹陷	硬滑	否
15	乌黑	稍蜷	浊响	清晰	稍凹	软粘	否
16	浅白	蜷缩	浊响	模糊	平坦	硬滑	否
17	青绿	蜷缩	沉闷	稍糊	稍凹	硬滑	否

信息熵: 描述信息的混乱程度,越接近1越混乱(纯度越低),0则不混乱(纯度越高)

• 信息熵是描述集合D的混乱程度(纯度)的值

1. 以西瓜数据集为例,前7列(包含编号列)均为属性列,不是划分类别的指标,此例上一个瓜是否为好瓜是判断类别的唯一标准,则按照好瓜(是),好瓜(否)分为2类,即二分类问题
2. 故D的信息熵仅由最后一列(好瓜)进行计算
3. 简单看来:

• 好瓜的比例:(记为P(好瓜));
• 坏瓜的比例:(记为P(坏瓜)),
• 进行一次对比,最混乱情况也就是各一半,纯度最高情况则全部是好瓜/坏瓜.

4. 如出现多个类别,则每个类别占比相同时最混乱,只有一个类别数据时纯度最高
5. 举例说明
   • (例1) 情况1.2的纯度大于情况1.1
     $$(情况1.1):P_{好瓜}=\frac{1}{2},P_{坏瓜}=\frac{1}{2}$$
     $$(情况1.2):P_{好瓜}=\frac{1}{10},P_{坏瓜}=\frac{9}{10}$$
   • (例2) 情况2.2的纯度大于情况2.1
     $$(情况2.1):P_{好瓜}=\frac{2}{10},P_{坏瓜}=\frac{8}{10}$$
     $$(情况2.2):P_{好瓜}=\frac{1}{10},P_{坏瓜}=\frac{9}{10}$$
   • 这样看来,在二分类问题中,取每个情况取最大的pk,比较大小,越大的纯度越高即可
   • 但是三分类问题就会有点问题
   • (例3) 情况3.2的纯度大于情况3.1
     $$(情况3.1):P_1=\frac{6}{10},P_2=\frac{2}{10},P_3=\frac{2}{10}$$
     $$(情况3.2):P_1=\frac{6}{10},P_2=\frac{3}{10},P_3=\frac{1}{10}$$
6. 在例3的情况下,仅仅比较最大值6/10都是一样的,那么就需要比较第二大的值,3/10>2/10,故3.2的纯度大于情况3.1
7. 由此可见,比较两个样本D信息熵的方法有了
8. 但是不太方便,如果要用一个值来量化纯度(混乱程度),思路很清晰,同一个情况(一个集合D)中的分类占比越大,则对纯度程度的贡献就越大.即在(情况3.2)中 6/10的纯度意义 > 3/10 > 1/10
9. 使用log函数可以实现8提到的要求.pk值越小,则log(pk)会更小.选用以2为底的对数函数,故当前样本集合D中第k类样本所占比例为pk(k=1,2,3,…,|y|),则D的信息熵为:
   $$Ent(D)=-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_{k}lo{g}_2{p}_k$$

信息增益: 使用某个属性a对样本集D进行划分所能获得的纯度提升程度

1. 计算信息增益的目的,是选出一个属性,可以最大的划分数据
2. 则:
   $$信息增益=混乱程度-使用a进行划分后的混乱程度$$
3. 则:
   $$使用a进行划分后的混乱程度=即每个子集的混乱程度乘以各自的权重之和$$
4. 又混乱程度可以使用信息熵Ent(D)进行计算
5. 则可以推导,计算公式为:
   $$Gain(D,a)=Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|Dv|}{|D|}Ent(D^v)$$

• 注:
  $$|D|即表示集合D中的元素个数$$

以西瓜数据集举例说明

• D包含若干属性,若使用某个属性a(即样本中的某列,例如色泽)对D进行划分,将D划分为多个子集
• 以西瓜数据为例,如使用属性色泽进行划分,则一共有3个属性值,则将全部数据划分为3个子集,即:
  $$D_{按照色泽划分}=D_{青绿}\cup D_{乌黑}\cup D_{浅白}$$
• 故a在D上的信息增益为:
  $$Gain(D,色泽)=Ent(D)-(\frac{|D_{青绿}|}{|D|}Ent(D_{青绿})+\frac{|D_{青绿}|}{|D|}Ent(D_{乌黑})\frac{|D_{浅白}|}{|D|}Ent(D_{浅白}))$$
• 可以看出,属性(色泽)对样本集D进行划分所能获得的纯度提升程度即为:Gain(D,色泽). 如每次都选择提升程度最大的一个,则决策树的分支越少.

增益率:排除子集数量对信息增益的影响

1. 上文中求信息增益中,我们是忽略掉编号这一列的,因为按照编号属性进行计算信息增益,会划分17个子集,每个子集的信息熵Ent均为0,则信息增益Gain就是D的信息熵Ent
   $$Gain(D,编号)=Ent(D)-(0+0+....+0)=Ent(D)=0.998$$
2. 显然,这个信息增益非常高,单却是没有意义的,按照编号建立决策树,将会建立一个一层17分支的决策树.
3. 故,我们需要找到一个方法,解决信息增益对数数目校多的属性偏好这一个问题
4. 如使用Gain直接除V的数量(V是D按照属性a分组的所有子集,即D的子集数量),好像可以处理掉数目较多属性偏好的这个问题
   $$\frac{Gain(D,编号)}{V}=\frac{0.998}{17}=0.058$$
5. 但是更适合的方法是除以IV(a),称为属性a的’固有值’（Intrinsic Value，IV）,也称’ 分离信息 ’ (Split information):算法如下:
   $$IV(D,a)=SplitInformation(D,a)=-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}lo{g}_2\frac{|D^v|}{|D|}$$
6. 故增益率定义为
   $$Gain\_ratio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(D,a)}$$
7. 但是会带来一个新的问题,这个增益率会对数目较少的属性,有更强的偏好.(正好与信息增益的偏好相反)
   8.故C4.5决策树算法,不是直接取增益率最高的属性,而是使用了一个启发式: 从候选划分属性中选出信息增益大于平均水平的属性,再选增益率最高的.

如有错误,敬请指正!

代码部分请参考:决策树代码实例(全部代码,包含绘图,ID.3算法,西瓜书示例)