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一、B-树

1. B-树概念

B树是一种适合外查找的、平衡的多叉树。一棵m阶（m>2）的B树，是一棵平衡的M路平衡搜索树，它可以是空树或满足以下性质：

（1）根节点至少有两个孩子。

（2）每个分支节点都包含k-1个关键字和k个孩子，其中ceil(m/2)<= k <= m。（ceil表示向上取整）

（3）每个叶子节点都包含k-1个关键字，其中ceil(m/2)<= k <= m。

（4）所有叶子节点都在同一层。

（5）每个节点中的关键字从小到大排列，节点中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域划分。

（6）每个节点的结构为：（n, A0, K1, A1, K2, A2……, Kn, An），其中Ki(1<=i<=n)为关键字，且ki<ki + 1(1<=i<=n)。Ai(0<=i<=n)为指向子树根节点的指针，且Ai所指子树所有节点中的关键字均小于Ki+1。n为节点中关键字的个数，满足ceil(m/2)-1 <=n <= m-1。

2. B树的插入

采用m为3的一棵三叉B树的插入过程进行演示。根据B树性质可知，m为3，则每个节点最多有三个孩子(m-1个），每个节点包含k-1个关键字，2<=k<=3。注意：插入只能插入到叶子节点。

（1）首先插入两个值20，30

（2）插入第三个值25，由于每个节点最多有2个关键字，所以此时会进行分裂来维持B树平衡。

2.1 B树分裂规则

创建一个兄弟节点，拷贝当前节点内右半区间的数据到兄弟节点中，保留当前节点中左半区间的数据，将该节点内的中位数提到父节点中（若没有父节点，则创建新的父节点）。

（3）插入35

（4）插入40

此时根节点的右侧孩子内数据超过2个，则按照B树分裂规则分裂后如下：

（5）插入33

（6）插入34

此时根节点的中间孩子内数据超过2两个，进行分裂，当提取33到父节点后，根节点内数据也超过了2个，则根节点也会进行分裂，此时没有父节点，则会创建新的父节点，结构如下：

三、B+树

1. B+树概念

B+树是B树的变形，它是在B树基础上进行优化的多路平衡搜索树，B+树的规则和B树基本类似，但在其基础上进行了以下优化：

（1）分支节点的子树指针与关键字个数相同；

（2）分支节点的子树指针p[i]指向关键字值大小在[k[i], k[i+1]]之间；

（3）所有叶子节点增加一个链接指针链接在一起；

（4）所有关键字及其映射数据都在叶子节点出现。

优点：

（1）简化了B树孩子币关键字多一个的规则，由多一个变成相等。

（2）所有值都在叶子节点中，且叶子节点通过指针链接起来，方便遍历。

2. B+树的插入

B+树的插入过程与B树基本类似，区别在于：

（1）第一次插入两层节点，一层做分支，一层做根；

（2）B+树在分裂时，是将左半部分的数据保留，右半部分的数据放入新建兄弟节点中，并将新建节点中的最小值更新到父节点中。

三、B*树

1. B*树概念

B*树又是B+树的变形，做了以下改动：

（1）在B+树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟节点的指针。

（2）节点在分裂时，保证每个节点中值的数量至少为2/3 * M，最多为M个，也就是从1/2提高到了2/3，提高空间利用率。

2. B*树的插入

B*树的插入与B+树基本类似，区别主要在于分裂规则，B*树的分裂规则：

如果它的下一个兄弟节点未满，则将一部分数据移到兄弟节点中，再在原节点中插入关键字，最后修改父节点中兄弟节点的关键字（因为兄弟节点的关键字范围发生了变化）；

如果兄弟节点也满了，则在原节点与兄弟节点之间添加新节点，并各复制1/3的数据到新节点中，最后在父节点中添加新节点的指针。

四、B树系列的优缺点

1. 优点

（1）高效的查找操作：B树系列的数据结构通过将数据分布在多层节点上，使用索引快速导航到目标元素所在的叶子节点，从而实现了高效的查找操作。其时间复杂度通常为O( $log_{M}^{N}$ )

（2）适应大规模数据集：B树系列的数据结构能够充分利用磁盘块的大小，减少磁盘I/O操作的次数，提高存储和访问效率。它们被广泛应用于数据库索引、文件系统等需要处理大规模数据集的场景。

（3）自平衡特性：B树系列的数据结构通过节点的分裂和合并来自动保持树的平衡，保证了各个节点的高度相对较小，从而维持了高效的操作性能。

（4）支持范围查询：由于B树系列的数据结构中数据是按照键的大小顺序进行排序，因此可以很方便地进行范围查询操作。

2. 缺点

（1）空间利用率低，消耗高。

（2）插入删除数据、分裂合并节点，都必然存在数据挪动。

（3）虽然B树系列的高度更低，但是在内存中和哈希、平衡搜索树的查找效率处于同一量级。