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1.多项式曲线拟合

        此示例说明如何使用 polyfit 函数将多项式曲线与一组数据点拟合。您可以按照以下语法，使用 polyfit 求出以最小二乘方式与一组数据拟合的多项式的系数

p = polyfit(x,y,n),

        其中：

        • x 和 y 是包含数据点的 x 和 y 坐标的向量

        • n 是要拟合的多项式的次数

        创建包含五个数据点的 x-y 测试数据。

x = [1 2 3 4 5];

y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4];

        使用 polyfit 求与数据近似拟合的三次多项式。

p = polyfit(x,y,3)

p = 1×4

-0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400

        使用 polyfit 获取拟合线的多项式后，可以使用 polyval 计算可能未包含在原始数据中的其他点处的多项式。在更小域内计算 polyfit 估计值，并绘制实际数据值的估计值以进行对比。可以为拟合线包含方程注释。

x2 = 1:.1:5;

y2 = polyval(p,x2);

plot(x,y, 'o' ,x2,y2)

grid on

s = sprintf( 'y = (%.1f) x^3 + (%.1f) x^2 + (%.1f) x + (%.1f)' ,p(1),p(2),p(3),p(4));

text(2,400,s)

1.1 预测美国人口

        此示例说明，即使使用次数最适中的多项式外插数据也是有风险且不可靠的。此示例比 MATLAB® 出现得更早。该示例最初作为一个练习出现在 Forsythe、Malcolm 和 Moler 合著的《Computer Methods for Mathematical Computations》一书中，该书由出版商 Prentice-Hall 在1977 年出版。

        现在，通过 MATLAB 可以更容易地改变参数和查看结果，但基础数学原理未变。使用 1910 年至 2000 年的美国人口普查数据创建并绘制两个向量。

% Time interval

t = (1910:10:2000)';

% Population

p = [91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 ...

179.323 203.212 226.505 249.633 281.422]';

% Plot

plot(t,p, 'bo' );

axis([1910 2020 0 400]);

title( 'Population of the U.S. 1910-2000' );

ylabel( 'Millions' );

         那么猜想一下 2010 年美国的人口是多少？

p

p = 10×1

91.9720

105.7110

123.2030

131.6690

150.6970

179.3230

203.2120

226.5050

249.6330

281.4220

        将这些数据与 t 中的一个多项式拟合，并使用它将人口数外插到 t = 2010。通过对包含范德蒙矩阵的线性系统求解来获得多项式中的系数，该矩阵为 11×11，其元素为缩放时间的幂，即 A(i,j) = s(i)^(n-j) 。

n = length(t);

s = (t-1950)/50;

A = zeros(n);

A(:,end) = 1;

for j = n-1:-1:1

A(:,j) = s .* A(:,j+1);

end

        通过对包含范德蒙矩阵最后 d+1 列的线性系统求解，获得与数据 p 拟合的 d 次多项式的系数 c： A(:,n-d:n)*c ~= p

        • 如果 d < 10 ，则方程个数多于未知数个数，并且最小二乘解是合适的。

        • 如果 d == 10 ，则可以精确求解方程，而多项式实际上会对数据进行插值。

        在任一种情况下，都可以使用反斜杠运算符来求解方程组。三次拟合的系数为：

c = A(:,n-3:n)\p

c = 4×1

-5.7042

27.9064

103.1528

155.1017

        现在，计算从 1910 年到 2010 年每一年的多项式，然后绘制结果。

v = (1910:2020)';

x = (v-1950)/50;

w = (2010-1950)/50;

y = polyval(c,x);

z = polyval(c,w);

hold on

plot(v,y, 'k-' );

plot(2010,z, 'ks' );

text(2010,z+15,num2str(z));

hold off

        将三次拟合与四次拟合进行比较。请注意，外插点完全不同。

c = A(:,n-4:n)\p;

y = polyval(c,x);

z = polyval(c,w);

hold on

plot(v,y, 'k-' );

plot(2010,z, 'ks' );

text(2010,z-15,num2str(z));

hold off

        随着阶数增加，外插变得越来越不可靠。

cla

plot(t,p, 'bo' )

hold on

axis([1910 2020 0 400])

colors = hsv(8);

labels = { 'data' };

for d = 1:8

[Q,R] = qr(A(:,n-d:n));

R = R(1:d+1,:);

Q = Q(:,1:d+1);

c = R\(Q'*p); % Same as c = A(:,n-d:n)\p;

y = polyval(c,x);

z = polyval(c,11);

plot(v,y, 'color' ,colors(d,:));

labels{end+1} = [ 'degree = ' int2str(d)];

end

legend(labels, 'Location' , 'NorthWest' )

hold off

 2.标量函数的根

2.1 对一元非线性方程求解

        fzero 函数尝试求一个一元方程的根。可以通过用于指定起始区间的单元素起点或双元素向量调用该函数。如果为 fzero 提供起点 x0 ， fzero 将首先搜索函数更改符号的点周围的区间。如果找到该区间，fzero 返回函数更改符号的位置附近的值。如果未找到此类区间， fzero 返回 NaN。或者，如果知道函数值的符号不同的两个点，可以使用双元素向量指定该起始区间； fzero 保证缩小该区间并返回符号更改处附近的值。

        以下部分包含两个示例，用于说明如何使用起始区间和起点查找函数的零元素。这些示例使用由MATLAB® 提供的函数 humps.m 。下图显示了 humps 的图。

x = -1:.01:2;

y = humps(x);

plot(x,y)

xlabel( 'x' );

ylabel( 'humps(x)' )

grid on

2.2 为 fzero 设置选项

        可以通过设置选项控制 fzero 函数的多个方面。使用 optimset 设置选项。选项包括：

        • 选择 fzero 生成的显示量 - 请参阅“设置优化选项” 、使用起始区间和使用起点。

        • 选择控制 fzero 如何确定它得到根的不同公差 - 请参阅“设置优化选项” 。

        • 选择用于观察 fzero 逼近根的进度的绘图函数 - 请参阅“优化求解器绘制函数” 。

        • 使用自定义编程的输出函数观察 fzero 逼近根的进度 - 请参阅“优化求解器输出函数” 。

2.3 使用起始区间

        humps 的图指示 x = -1 时函数为负数， x = 1 时函数为正数。可以通过计算这两点的 humps 进行确认。

humps(1)

ans = 16

humps(-1)

ans = -5.1378

        因此，可以将 [-1 1] 用作 fzero 的起始区间。fzero 的迭代算法可求 [-1 1] 越来越小的子区间。对于每个子区间， humps 在两个端点的符号不同。由于子区间的端点彼此越来越近，因此它们收敛到 humps 的零位置。要显示 fzero 在每个迭代过程中的进度，请使用 optimset 函数将 Display 选项设置为 iter 。

options = optimset( 'Display' , 'iter' );

        然后如下所示调用 fzero ：

a = fzero(@humps,[-1 1],options)

Func-count x f(x) Procedure

2 -1 -5.13779 initial

3 -0.513876 -4.02235 interpolation

4 -0.513876 -4.02235 bisection

5 -0.473635 -3.83767 interpolation

6 -0.115287 0.414441 bisection

7 -0.115287 0.414441 interpolation

8 -0.132562 -0.0226907 interpolation

9 -0.131666 -0.0011492 interpolation

10 -0.131618 1.88371e-07 interpolation

11 -0.131618 -2.7935e-11 interpolation

12 -0.131618 8.88178e-16 interpolation

13 -0.131618 8.88178e-16 interpolation

Zero found in the interval [-1, 1]

a = -0.1316

        每个值 x 代表迄今为止最佳的端点。 Procedure 列向您显示每步的算法是使用对分还是插值。可以通过输入以下内容验证 a 中的函数值是否接近零：

humps(a)

ans = 8.8818e-16

2.4 使用起点

        假定您不知道 humps 的函数值符号不同的两点。在这种情况下，可以选择标量 x0 作为 fzero 的起点。fzero 先搜索函数更改符号的点附近的区间。如果 fzero 找到此类区间，它会继续执行上一部分中介绍的算法。如果未找到此类区间， fzero 返回 NaN。

        例如，将起点设置为 -0.2 ，将 Display 选项设置为 Iter ，并调用 fzero ：

options = optimset( 'Display' , 'iter' );

a = fzero(@humps,-0.2,options)

Search for an interval around -0.2 containing a sign change:

Func-count a f(a) b f(b) Procedure

1 -0.2 -1.35385 -0.2 -1.35385 initial interval

3 -0.194343 -1.26077 -0.205657 -1.44411 search

5 -0.192 -1.22137 -0.208 -1.4807 search

7 -0.188686 -1.16477 -0.211314 -1.53167 search

9 -0.184 -1.08293 -0.216 -1.60224 search

11 -0.177373 -0.963455 -0.222627 -1.69911 search

13 -0.168 -0.786636 -0.232 -1.83055 search

15 -0.154745 -0.51962 -0.245255 -2.00602 search

17 -0.136 -0.104165 -0.264 -2.23521 search

18 -0.10949 0.572246 -0.264 -2.23521 search

Search for a zero in the interval [-0.10949, -0.264]:

Func-count x f(x) Procedure

18 -0.10949 0.572246 initial

19 -0.140984 -0.219277 interpolation

20 -0.132259 -0.0154224 interpolation

21 -0.131617 3.40729e-05 interpolation

22 -0.131618 -6.79505e-08 interpolation

23 -0.131618 -2.98428e-13 interpolation

24 -0.131618 8.88178e-16 interpolation

25 -0.131618 8.88178e-16 interpolation

Zero found in the interval [-0.10949, -0.264]

a = -0.1316

        每个迭代中当前子区间的端点列在标题 a 和 b 下，而端点处的相应 humps 值分别列在 f(a) 和 f(b) 下。

        注意：端点 a 和 b 未按任何特定顺序列出： a 可能大于 b 或小于 b 。

        对于前 9 步，humps 的符号在当前子区间的两端点都为负号，如输出中所示。在第 10 步， humps 的符号在 a ( -0.10949 ) 处为正号，但在 b ( -0.264) 处为负号。从该点开始，如上一部分中所述，算法继续缩小区间 [-0.10949 -0.264] ，直到它达到值 -0.1316 。