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题目

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

解答

源代码

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int sum = 0;for (int num : nums) {sum += num;}if (sum - target < 0 || (sum - target) % 2 == 1) {return 0;}int len = nums.length, neg = (sum - target) / 2;int[][] dp = new int[len + 1][neg + 1];dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i < len + 1; i++) {int num = nums[i - 1];for (int j = 0; j < neg + 1; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];if (j >= num) {dp[i][j] += dp[i - 1][j - num];}}}return dp[len][neg];}
}

总结

记数组的元素和为 sum，添加 - 号的元素之和为 neg，则其余添加 + 的元素之和为 sum−neg，得到的表达式的结果为：

(sum − neg) − neg = sum − 2 * neg = target  即 neg = (sum − target) / 2

由于数组 nums 中的元素都是非负整数，neg 也必须是非负整数，所以上式成立的前提是 sum − target 是非负偶数。若不符合该条件可直接返回 0。

若上式成立，问题转化成在数组 nums 中选取若干元素，使得这些元素之和等于 neg，计算选取元素的方案数。我们可以使用动态规划的方法求解。

定义二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在数组 nums 的前 i 个数中选取元素，使得这些元素之和等于 j 的方案数。假设数组 nums 的长度为 n，则最终答案为 dp[n][neg]。

当没有任何元素可以选取时，元素和只能是 0，对应的方案数是 1，因此动态规划的边界条件是：

当j = 0时，dp[0][j] = 1；当j > 0时，dp[0][j] = 0；

当 1 ≤ i ≤ n 时，对于数组 nums 中的第 i 个元素 num（i 的计数从 1 开始），遍历 0 ≤ j ≤ neg，计算 dp[i][j] 的值：

如果 j < num，则不能选 num，此时有 dp[i][j] = dp[i − 1][j]；

如果 j ≥ num，则如果不选 num，方案数是 dp[i−1][j]，如果选 num，方案数是 dp[i − 1][j − num]，此时有 dp[i][j]=dp[i − 1][j] + dp[i − 1][j − num]。

因此状态转移如下：

当j < nums[i]时，dp[i][j] = dp[i−1][j]；当j >= nums[i]时， dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i − 1][j − nums[i]]。

最终得到 dp[n][neg] 的值即为答案。