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可持久化线段树

可持久化线段树

模板

在某一指定版本的单点查,单点修。

m m m 棵线段树,每次修改复制后单点修。时间复杂度 O ( m ( n + log ⁡ n ) ) O(m(n+\log n)) O(m(n+logn)),空间复杂度 O ( n m ) O(nm) O(nm),不如暴力。

每次修改的时候,影响的点是 log ⁡ n \log n logn 级的,其余点均不受影响。因修改而新建线段树时,可以利用未修改的点,做到 O ( m log ⁡ n ) O(m \log n) O(mlogn)

具体实现动态开点即可,空间复杂度 O ( m log ⁡ n + n ) O(m \log n+n) O(mlogn+n),注意线段树自身的常数。

代码

静态 kth

模板

l − 1 , r l-1,r l1,r 棵线段树形态相同,可以相减得到区间答案。

离散化,二分答案,每次统计区间内小于他的个数。这个过程可以用可持久化线段树实现,时间复杂度 O ( m log ⁡ 2 n ) O(m \log ^2n) O(mlog2n)

事实上,这个过程可以做到 O ( m log ⁡ n ) O(m \log n) O(mlogn)。即查询时,记左子树区间的数量为 L L L L ≥ k L \ge k Lk,则在左子树中继续找第 k k k 大;否则右子树找第 k − L k - L kL 大。

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